Lo que personalmente siento es que la prueba que he presentado a continuación es una de las mejores y más creativas que he encontrado … En primer lugar, es posible que no te des cuenta, pero cuando lo piensas … Seguramente te suena …
El área de △ ABC es 1/2 sin (x). El área de la cuña de color es 1 / 2x, y el área de △ ABD es 1/2 tan (x). Por inclusión, obtenemos
1/2 tan (x) ≥1 / 2 x≥1 / 2 sin (x) ………… (1)
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Dividiendo (1) por 1/2 sin (x) y tomando recíprocos, obtenemos
cos (x) ≤ sin (x) x ≤1 ………… .. (2)
Dado que sin (x) x y cos (x) son funciones pares, (2) es válido para cualquier x [math] x [/ math] que no sea cero entre −π / 2 y π / 2. Además, dado que cos (x) es continuo cerca de [matemática] 0 [/ matemática] y cos (0) = 1 [matemática] cos [/ matemática] [matemática] ([/ matemática] [matemática] 0 [/ matemática] [ matemáticas]) [/ matemáticas] [matemáticas] = [/ matemáticas] [matemáticas] 1 [/ matemáticas], obtenemos que
[matemática] lim [/ matemática] [matemática] x [/ matemática] [matemática] → [/ matemática] [matemática] 0 [/ matemática] [matemática] sin [/ matemática] [matemática] [/ matemática] [matemática ] ([/ matemática] [matemática] x [/ matemática] [matemática]) [/ matemática] [matemática] x [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] 1 ………… .. (3 )[/matemáticas]
Además, dividiendo (2) por cos (x), obtenemos que
1≤tan (x) x≤sec (x) …………………… (4)
Dado que sec (x) es continuo cerca de 0 [matemática] 0 [/ matemática] y sec (0) = 1 [matemática] sec [/ matemática] [matemática] ([/ matemática] [matemática] 0 [/ matemática] [matemática ]) [/ math] [math] = [/ math] [math] 1 [/ math], obtenemos que
limx → tan (x) x = 1