Cómo demostrar que [matemáticas] \ frac {1} {a} + \ frac {1} {b} + \ frac {4} {c} + \ frac {16} {d} + \ frac {64} {e }> \ frac {256} {a + b + c + d + e} [/ math]

Answer 1

¿Cómo demuestro que [matemáticas] \ frac {1} {a} + \ frac {1} {b} + \ frac {4} {c} + \ frac {16} {d} + \ frac {64} { e}> \ frac {256} {a + b + c + d + e} [/ math] ?

Suponiendo que [matemáticas] a, b, c, d, e [/ matemáticas] son ​​reales positivos.

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LEMMA

[matemáticas] \ Big (\ frac {a_1 ^ 2} {b_1} + \ frac {a_2 ^ 2} {b_2} \ ldots \ frac {a_n ^ 2} {b_n} \ Big) \ geq \ frac {(a_1 + a_2 + \ ldots a_n) ^ 2} {(b_1 + b_2 \ ldots b_n)} [/ math]

PRUEBA : Considere,

[matemáticas] S = \ Big [\ big (\ frac {a_1} {\ sqrt {b_1}} \ big) ^ 2 + \ big (\ frac {a_2} {\ sqrt {b_2}} \ big) ^ 2 \ ldots [/ math]

[matemáticas] \ big (\ frac {a_n} {\ sqrt {b_n}} \ big) ^ 2 \ Big] \ Big [(\ sqrt {b_1}) ^ 2 + (\ sqrt {b_2}) ^ 2+ \ ldots (\ sqrt {b_n}) ^ 2 [/ math]

Por Cauchy-Schwarz tenemos,

[matemáticas] S \ geq \ Big [\ frac {a_1} {\ sqrt {b_1}} (\ sqrt {b_1}) + \ ldots \ frac {a_n} {\ sqrt {b_n}} (\ sqrt {b_n}) \ Grande] ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] S \ geq (a_1 + a_2 \ ldots a_n) ^ 2 [/ matemáticas]

Ahora,

[matemática] S = [/ matemática] [matemática] \ Big (\ frac {a_1 ^ 2} {b_1} + \ frac {a_2 ^ 2} {b_2} \ ldots \ frac {a_n ^ 2} {b_n} \ Big ) (b_1 + b_2 \ ldots b_n) \ geq (a_1 + a_2 \ ldots a_n) ^ 2 [/ math]

Entonces,

[matemáticas] \ Big (\ frac {a_1 ^ 2} {b_1} + \ frac {a_2 ^ 2} {b_2} \ ldots \ frac {a_n ^ 2} {b_n} \ Big) \ geq \ frac {(a_1 + a_2 + \ ldots a_n) ^ 2} {(b_1 + b_2 \ ldots b_n)} [/ math]

---

Ahora en cuanto a la pregunta,

Por Lemma tenemos,

[matemáticas] \ frac {1} {a} + \ frac {1} {b} + \ frac {4} {c} + \ frac {16} {d} + \ frac {64} {e} [/ matemáticas ]

[matemáticas] = [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {1 ^ 2} {a} + \ frac {1 ^ 2} {b} + \ frac {2 ^ 2} {c} + \ frac {4 ^ 2 } {d} + \ frac {8 ^ 2} {e} \ geq \ frac {(1 + 1 + 2 + 4 + 8) ^ 2} {a + b + c + d + e} [/ math]

[matemáticas] \ frac {1} {a} + \ frac {1} {b} + \ frac {4} {c} + \ frac {16} {d} + \ frac {64} {e} \ geq \ frac {256} {a + b + c + d + e} [/ math]

Tada!

Answer 2

Solo sugeriré un método para tratar problemas de este tipo.

Muchas desigualdades de tipo competencia (como esta) pueden derivarse de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, que establece que [matemáticas] (x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + \ dots + x_n ^ 2) (y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2 + \ dots + y_n ^ 2) \ ge (x_1y_1 + x_2y_2 + \ dots + x_ny_n) ^ 2 [/ math] para dos [math] n [/ math] -tuples [math] x_1, x_2, \ dots, x_n [ / math] y [math] y_1, y_2, \ dots, y_n [/ math] de números reales. Esta desigualdad es bastante poderosa porque tienes dos tuplas para trabajar.

Un caso bien conocido de esta desigualdad es [matemática] (a + b + c) \ izquierda (\ frac 1a + \ frac 1b + \ frac 1c \ derecha) \ ge 9 [/ matemática] (en este caso, [matemática ] x_1 = \ sqrt a, x_2 = \ sqrt b, x_3 = \ sqrt c [/ math]; ¿cuáles son [math] y_i [/ ​​math] ‘s?). Observe cómo los denominadores del lado izquierdo no aparecen en el lado derecho.

La desigualdad en la pregunta difiere de la última solo en los pesos asignados a las [matemáticas] x_i [/ ​​matemáticas]. Por ejemplo, la desigualdad de Cauchy-Schwarz se puede usar para derivar que [matemáticas] (a + b) \ left (\ frac 1a + \ frac 4b \ right) \ ge \ left (\ sqrt a \ cdot \ frac1 {\ sqrt a} + \ sqrt b \ cdot \ frac {\ sqrt 4} {\ sqrt b} \ right) ^ 2 [/ math], y por lo tanto [math] \ frac 1a + \ frac 4b \ ge \ frac9 {a + b }. [/ math] (Intenta encontrar todos los pares [math] a, [/ math] [math] b [/ math] para los cuales la igualdad ocurre en la desigualdad derivada).