¿Cuál es el valor de la integral: [matemáticas] \ displaystyle {\ int ^ \ infty_0 \ mathrm {d} x \ frac {\ mathrm {ln} (x)} {x ^ a \ cdot {(x + 1)} }} \ text {para a} \ in (0,1) [/ math]?

Answer 1

Haga una integral de ojo de cerradura alrededor de la rama cortada [math] \ mathbb {\ R ^ {+}} [/ math] y aplique el Teorema del residuo.

Deje que [math] I [/ math] denote la integral deseada y verifique que “baches” sobre [math] z = 0 [/ math] y la integral sobre arcos, [math] \ int _ {\ gamma_ {R}} \ rightarrow 0 [/ math], como [math] R \ rightarrow 0 [/ math].

Entonces: [matemáticas] 2 \ pi i \ cdot Res_ {z = -1} = I \ cdot (1 – \ exp (-2 \ pi i \ cdot a)) – \ exp (-2 \ pi \ cdot a) \ cdot PV \ left (\ int_ {0} ^ {\ infty} \; dx \; \ frac {2 \ pi i} {x ^ {a} \ cdot (x + 1)} \ right) [/ math] . Hay dos pasos: (i) evaluar el residuo; y (ii) evaluar la integral.

(i): Evalúe el residuo: [math] Res_ {z = -1} = \ frac {\ pi i} {\ exp (\ pi i \ cdot a)} [/ math].

(ii): Evalúe la integral: deje que [math] J [/ math] denote la nueva integral. Use el mismo truco que antes para obtener [matemáticas] -4 \ pi ^ 2 \ cdot \ exp (- \ pi i \ cdot a) = J \ cdot (1- \ exp (-2 \ pi i \ cdot a) ) [/ math], de donde [math] J = -4 \ pi ^ 2 \ cdot \ frac {1} {\ exp (\ pi i \ cdot a) – \ exp (- \ pi i \ cdot a)} = \ frac {2 \ pi ^ 2 i} {\ sin (\ pi a)} [/ math].

Entonces: [matemáticas] \ frac {-2 \ pi ^ 2} {\ exp (\ pi i \ cdot a)} + \ frac {2 \ pi ^ 2 i \ exp (-2 \ pi a)} {\ sin (\ pi a)} = I \ cdot (1- \ exp (-2 \ pi i \ cdot a) [/ math], de donde [math] \ pi ^ 2 i + \ frac {\ pi ^ 2} {\ sin (\ pi a)} \ cdot \ exp (- \ pi i \ cdot a) = I \ sin (\ pi a) [/ math]. Entonces: [math] I = \ pi ^ 2 \ cdot \ frac { \ cos (\ pi a)} {\ sin ^ 2 (\ pi a)} [/ math]. Esta respuesta concuerda con una de las otras respuestas.

Answer 2

Me gustaría obtener esta integral utilizando ‘métodos reales’. Aquí hay un posible enfoque

Primero, tenga en cuenta que [math] \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} a} x ^ {- a} = – x ^ {- a} \ ln x [/ math], usando lo que podemos reescribir la integral dada como

[matemáticas] I = \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {\ ln x} {x ^ a (1 + x)} \ mathrm {d} x = – \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {\ partial} {\ parcial a} \ frac {x ^ {- a}} {1 + x} \ mathrm {d} x = – \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} a} \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ {- a}} {1 + x} \ mathrm {d} x [/ math]

Tenga en cuenta que podríamos pasar la derivada parcial que aparece dentro de la integral a una derivada total utilizando la regla integral de Leibniz. Continuando,

[matemáticas] I = – \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} a} \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ {(1-a) -1}} {(1 + x ) ^ {(1-a) + a}} = – \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} a} \ mathrm {B} (1-a, a) [/ math]

donde [math] \ mathrm {B} (x, y) [/ math] denota la función beta y el último paso resulta de la definición de la función beta

[matemática] \ mathrm {B} (x, y) = \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {t ^ {x-1}} {(1 + t) ^ {x + y}} \ mathrm {d} t, ~~~ \ Re (x)> 0, \ Re (y)> 0 [/ math]

Expresando [math] \ mathrm {B} (x, y) [/ math] en términos de la función gamma, es decir, usando la identidad [math] \ mathrm {B} (x, y) = \ frac {\ Gamma (x ) \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)} [/ math], obtenemos

[matemáticas] I = – \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} a} \ frac {\ Gamma (a) \ Gamma (1-a)} {\ Gamma (1)} = – \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} a} \ frac {\ pi} {\ sin (\ pi a)} = \ pi ^ 2 \ frac {\ cos (\ pi a)} {\ sin ^ 2 (\ pi a)} [/ matemáticas]

En el camino utilizamos la identidad de la función gamma [matemáticas] \ Gamma (z) \ Gamma (1-z) = \ frac {\ pi} {\ sin (\ pi z)} [/ math]. Nuestro resultado está de acuerdo con la respuesta encontrada por el usuario de Quora (encontrada usando el cálculo de residuos) y la de Gocha Mchedlishvili (encontrada usando la integración simbólica).

Salud !

Answer 3

Código de Wolfram Mathematica:

Integrate[Log[x]/(x^a (x + 1)), {x, 0, Infinity},

Assumptions -> a \[Element] Reals] // TrigReduce // TraditionalForm

Responder:

[matemáticas] – \ frac {2 \ pi ^ 2 \ cos (\ pi a)} {\ cos (2 \ pi a) – 1} [/ matemáticas] [matemáticas], 0

si no reduce las funciones trigonométricas, la respuesta es:

[matemáticas] \ pi ^ 2 \ cot (\ pi a) \ csc (\ pi a), 0

La integral indefinida es:

Answer 4

[matemáticas] \ int \ frac {ln (x)} {x ^ a \ times (x + 1)} dx [/ matemáticas]

Podemos escribirlo así,

[matemáticas] \ int ln (x) \ frac {1} {(x ^ a) (x + 1)} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int ln (x) x ^ {- a} (x + 1) ^ {- 1} dx [/ matemáticas]

Puede usar el método llamado integración por partes que es similar a la regla del producto en derivación. Pruébelo, ([matemática] u, v [/ matemática] debe ser alguna sustitución)

[matemáticas] \ int u (x) v ‘(x) dx = uv- \ int v du [/ matemáticas]

No tengo idea de cómo hacer esto para 3 variables, pero esto podría ser útil, integración por partes.