¿Hay alguna instancia en matemáticas donde [matemáticas] x = y [/ matemáticas], pero [matemáticas] y \ neq x [/ matemáticas]?

Answer 1

No usar el significado habitual de igualdad. La igualdad se define típicamente como simétrica. Esto significa que si [matemáticas] x = y [/ matemáticas], entonces [matemáticas] y = x [/ matemáticas]. Si no fuera así, no sería muy útil.

Esto es distinto de la elección (algo desafortunada) de notación en la programación de computadoras para usar = como operador de asignación . La operación de asignación generalmente no es simétrica (algunos lenguajes en realidad usan el significado matemático de igualdad, por lo que si escribe [matemáticas] x = 5 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] 5 = x [/ matemáticas], porque es un declaración / aserción, pero no una asignación).

La igualdad es una relación binaria que es simétrica [matemática] ((x = y) \ iff (y = x)) [/ matemática], reflexiva [matemática] (x = x) [/ matemática] y transitiva [matemática] (( (x = y) \ land (y = z)) \ implica (x = z)) [/ math]. Si es algo más, no es igualdad.

Una relación de equivalencia es diferente, por lo que podría tener [math] 3 \ equiv 1 \ mod 2 [/ math], pero todos sabemos que [math] 1 \ ne 3 [/ math] (equivalente a [math] 3 \ ne 1 [/ matemáticas]). Sin embargo, de lo contrario, una relación de equivalencia es lo mismo que igualdad: reflexiva, transitiva y simétrica.

Answer 2

Supongamos que [math] x = y [/ math]. Pero si [math] y \ neq x [/ math] entonces [math] y = x + a [/ math] donde [math] a \ neq 0 [/ math]. Por lo tanto, [math] x = x + a [/ math]. Por lo tanto, [matemática] 0 = a [/ matemática]. Podemos ver a dónde lleva esto; Podrías pensar que puedes salir de la dificultad usando la asimetría hipotética de la igualdad, pero terminarás con algo bastante inútil.

Es por razones como esta que, como afirmó Dan Christensen, queremos que la relación de igualdad sea simétrica.

Answer 3

No. El símbolo “=” se usa para denotar igualdad, que es una relación de equivalencia. Por definición, una relación de equivalencia es simétrica. Si x = y, significa que y = x, no solo entre números, sino entre todos los objetos matemáticos.

La simetría es una condición necesaria para las relaciones de equivalencia, porque se usa para dividir un conjunto en clases de equivalencia. Si x pertenece a la misma clase que y, entonces y también pertenece a la misma clase que x.

Answer 4

No,
La relación ‘=’ se define como una relación de equivalencia. Entonces, también es una relación simétrica, lo que implica siempre que x = y, entonces y = x. Ver relación de equivalencia.

Pensando de otra manera,
Supongamos que x = y pero y ≠ x.
Luego, de la Ley de tricotomía para números reales, ya sea
y> x o y o, y = x + a, donde a puede ser un número positivo o negativo pero no puede ser 0.
que da, x = x + a
lo que da, a = 0, una contradicción.

Aunque, el detalle anterior es un poco absurdo, todavía ayuda a darse cuenta del problema.
Espero eso ayude.
🙂

Answer 5

Todas las respuestas hasta ahora son absolutamente correctas, sin embargo, me gustaría agregar que el “!” generalmente denota la función factorial en matemáticas (en oposición a, creo, Python?). La desigualdad generalmente se denota por [matemáticas] x \ neq y [/ matemáticas] o [matemáticas] \ neg (x = y) [/ matemáticas].

Sin embargo, para ser justos, en su pregunta fue claro por el contexto.

Answer 6

La simetría de la igualdad es un axioma, no algo que pueda probarse. Como tal, no es cierto simplemente porque nunca hemos visto un comportamiento contrario, sino más bien porque podemos “ver” que tiene que ser así para que el significado tenga alguna sustancia. La ecuación x = y significa que x es lo mismo que y. No se deduce de la lógica, sino del significado mismo de “mismo” que y es, por lo tanto, igual que x, o y = x.

Answer 7

No porque, por definición, la relación de igualdad es simétrica, es decir, para todos los x e y, si x = y, entonces y = x.

Answer 8

No, igual es una relación de equivalencia y, como tal, es simétrica.