Cómo entender las cosas que subyacen a las matemáticas.

Answer 1

Creo que su pregunta es más filosófica que matemática: “las cosas que subyacen” es la parte desafiante. Sus ejemplos (“papel algebraico de las funciones Gamma y Zeta”, etc.) no se refieren realmente a cuestiones matemáticas subyacentes , sino al significado y la aplicación de funciones y relaciones particulares dentro del campo de las matemáticas en sí, no lo apoyan como su Fundación propia.

El conocimiento matemático es en sí mismo la base subyacente de otros conocimientos per se , especialmente para la ciencia, la ingeniería, etc. Quizás los aspectos fundamentales más críticos de las matemáticas se encuentran en la teoría de conjuntos y la teoría de la prueba y la lógica formal en general. Sin embargo, hace un siglo, Whitehead y Russell sugirieron que la lógica y las matemáticas son, en esencia, lo mismo. Pero esa afirmación se basa en sí misma y se demuestra mediante el cálculo de predicados y la teoría de conjuntos (cf. Principia Mathematica ).

En última instancia, todas las matemáticas se basan en axiomas y teoremas derivados de ellos. Ese proceso de presunción axiomática y derivación inferencial presupone una teoría de prueba subyacente que define y justifica lo que califica como métodos y procesos racionales versus irracionales o sólidos versus no sólidos para probar que las cosas son verdaderas o falsas. Desde un punto de vista matemático, la teoría de la prueba (sobre la cual incluso la teoría de conjuntos en sí se sostiene o cae) es la base debajo de la cual el conocimiento racional deja de existir. Dada la teoría de la prueba, procede la adición de axiomas y la producción de las teorías que implican; así seguirán todas las matemáticas (y mucho más).

Answer 2

Muchas de las cosas específicas que está preguntando tienen que ver con análisis complejos. Una buena manera de aprender este tema es comenzar con Greene y Krantz, tal vez los primeros cinco capítulos más o menos, luego cambiar al libro de Ahlfors desde el principio pero omitiendo todo lo que ya entiendes.

Aprende que las funciones estudiadas en análisis complejos están dadas por series de potencia y cómo todo encaja. Luego, puede comenzar a estudiar cómo las series de potencia son útiles para otras cosas: pruebe la función de generación de Wilf para aplicaciones combinatorias y un texto de teoría de números para aprender sobre cosas como la función zeta de Riemann.

Al mismo tiempo, puede leer algo como el libro de Miranda sobre las superficies de Riemann para ver cómo encaja la geometría y también obtener una introducción bastante motivada a la topología algebraica.