Cómo calcular [math] \ displaystyle \ int_0 ^ 4 | x ^ 2 – 2 | ~ \ mathrm {d} x [/ math]

Answer 1

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ 4 \ left | x ^ 2-2 \ right | \, \ mathrm {d} x [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int_0 ^ 4 \ left (\ begin {cases} x ^ 2-2 & \ text {if} x ^ 2-2 \ geq0 \\ – \ left (x ^ 2-2 \ right) & \ text {if} x ^ 2-2 <0 \ end {cases} \ right) \, \ mathrm {d} x [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int_0 ^ 4 \ left (\ begin {cases} x ^ 2-2 & \ text {if} x ^ 2 \ geq2 \\ 2-x ^ 2 & \ text {if} x ^ 2 <2 \ end {cases} \ right) \, \ mathrm {d} x [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int_0 ^ 4 \ left (\ begin {cases} x ^ 2-2 & \ text {if} | x | \ geq \ sqrt {2} \\ 2-x ^ 2 & \ text {if} | x | <\ sqrt {2} \ end {cases} \ right) \, \ mathrm {d} x [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int_0 ^ 4 \ left (\ begin {cases} x ^ 2-2 & \ text {if} x \ geq \ sqrt {2} \ lor x \ leq- \ sqrt {2} \\ 2 -x ^ 2 & \ text {if} x – \ sqrt {2} \ end {cases} \ right) \, \ mathrm {d} x [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int_0 ^ 4 \ left (\ begin {cases} x ^ 2-2 & \ text {if} x \ geq \ sqrt {2} \\ 2-x ^ 2 & \ text {if} x < \ sqrt {2} \ end {cases} \ right) \, \ mathrm {d} x [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int_ \ sqrt {2} ^ 4x ^ 2-2 \, \ mathrm {d} x + \ int_0 ^ \ sqrt {2} 2-x ^ 2 \, \ mathrm {d} x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int_ \ sqrt {2} ^ 4x ^ 2 \, \ mathrm {d} x- \ int_ \ sqrt {2} ^ 42 \, \ mathrm {d} x + \ int_0 ^ \ sqrt {2 } 2 \, \ mathrm {d} x- \ int_0 ^ \ sqrt {2} x ^ 2 \, \ mathrm {d} x [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ left [\ int x ^ 2 \, \ mathrm {d} x \ right] _ {x = \ sqrt {2}} ^ {x = 4} – \ left [\ int2 \, \ mathrm {d} x \ right] _ {x = \ sqrt {2}} ^ {x = 4} + \ left [\ int2 \, \ mathrm {d} x \ right] _ {x = 0} ^ {x = \ sqrt {2}} – \ left [\ int x ^ 2 \, \ mathrm {d} x \ right] _ {x = 0} ^ {x = \ sqrt {2}} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ left [\ frac {1} {3} x ^ 3 + C \ right] _ {x = \ sqrt {2}} ^ {x = 4} – [2x + C] _ {x = \ sqrt {2}} ^ {x = 4} + [2x + C] _ {x = 0} ^ {x = \ sqrt {2}} – \ left [\ frac {1} {3} x ^ 3 + C \ right] _ {x = 0} ^ {x = \ sqrt {2}} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {3} 4 ^ 3- \ frac {1} {3} \ sqrt {2} ^ 3- \ left (2 (4) -2 \ sqrt {2} \ right ) +2 \ sqrt {2} -2 (0) – \ left (\ frac {1} {3} \ sqrt {2} ^ 3- \ frac {1} {3} 0 ^ 3 \ right) [/ math ]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {64} {3} – \ frac {2 \ sqrt {2}} {3} – \ left (8-2 \ sqrt {2} \ right) +2 \ sqrt {2} -0- \ left (\ frac {2 \ sqrt {2}} {3} – \ frac {0} {3} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {64-2 \ sqrt {2}} {3} -8 + 2 \ sqrt {2} +2 \ sqrt {2} – \ left (\ frac {2 \ sqrt {2} } {3} -0 \ derecha) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {64-2 \ sqrt {2}} {3} -8 + 4 \ sqrt {2} – \ frac {2 \ sqrt {2}} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {64-4 \ sqrt {2}} {3} – \ frac {24} {3} + \ frac {12 \ sqrt {2}} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {40 + 8 \ sqrt {2}} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {8} {3} \ left (5+ \ sqrt {2} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ aprox17.1046 [/ matemáticas]

Answer 2

Estoy seguro de que es eso, pero si te refieres a la integral de x ^ 2 -2 de 0 a 4:

I = [0,4] integral (x ^ 2 -2) dx

I = (1/3) * x ^ 3 -2x [0,4]

I = 64/3 -8

I = 40/3

Y como puede ver si compara esta solución (integral de una función solitaria) y una sin ver, tiene 8/3 sqr (2) adicionales porque cuando grafica esta función solitaria tiene un “área” adicional.

Answer 3

Normalmente, una integral da el área firmada bajo una curva. En este caso, tiene un signo de valor absoluto que tomará todas sus curvas negativas y las hará positivas, por lo que ahora lo que desea es el área sin signo debajo de una curva. Para encontrar esto, simplemente divida la integral en sus partes positivas y negativas y voltee el signo en las partes negativas:

[matemáticas] \ int_0 ^ 4 | x ^ 2-2 | dx = – \ int_0 ^ {\ sqrt {2}} (x ^ 2-2) dx + \ int _ {\ sqrt {2}} ^ 4 (x ^ 2 -2) dx [/ matemáticas]

Answer 4

Simplemente,

[matemáticas] \ int {| x ^ 2-2 |} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {x ^ 3} {3} -2x, en 0-4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {4 ^ 3} {3} -2 (4) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 13.33333 … [/ matemáticas]