¿Qué es el rigor y la ‘forma rigurosa’ en matemáticas?

Answer 1

En pocas palabras, significa que cada paso en su argumento se remonta a los axiomas y las reglas de un sistema formal. Es lo contrario de agitar las manos, donde podría decir “bueno, ya que hemos visto X, si ahora imagina que Y es obvio que también Z”. Si es difícil ver cómo X implica Z a través de las reglas del sistema, entonces esta no es una declaración rigurosa.

Un ejemplo de una prueba que es verdadera y perspicaz pero no rigurosa:

[matemáticas] \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} (2i + 1) = n ^ 2 [/ matemáticas]

Prueba: celdas de color en una cuadrícula. Comienza con una celda para el primer término de la suma, luego colorea las tres celdas a la derecha y debajo para el segundo término, luego las cinco celdas a la derecha y debajo para el tercero. Puede ver que el resultado final es un cuadrado [matemático] n [/ matemático] por [matemático] n [/ matemático], que consta de celdas coloreadas [matemático] n ^ 2 [/ matemático] en total. QED!

Puede ver intuitivamente que la prueba es correcta, pero no puede relacionar fácilmente los pasos de la prueba con las reglas de ningún sistema formal en particular. Entonces no es riguroso.

Un problema con las pruebas que no son rigurosas es que es más difícil detectar pequeños errores. Además, algunos de los pasos en la prueba pueden convertirse en una cuestión de debate, ¡que es exactamente lo que no quieres en matemáticas!

Answer 2

Buenas respuestas hasta ahora, pero me gustaría agregar que en matemáticas a menudo hay un nivel aceptable de rigor. Por ejemplo, un lógico podría mirar una prueba matemática típica y decir que no era rigurosa ya que no establecía formalmente cada paso lógico (y un matemático podría arrojar un borrador al lógico …). En matemáticas, a menudo tratamos con una cantidad aceptable de rigor, y esto a menudo se basa en su público objetivo. Por ejemplo, existe un acuerdo tácito en la topología algebraica que da como resultado que se podría precisar rigurosamente en menos de 30 minutos o así se puede incluir sin una “justificación rigurosa” completa. Ahora, el escritor de la prueba debe estar muy seguro de que ESTÁN correctos, pero la prueba se saturaría si se contuviera cada detalle. Dado que el tema es a menudo muy geométrico y visual, a menudo podemos recurrir a argumentos menos rigurosos que obviamente son ciertos. Pero tenemos que tener mucho cuidado con esto, ya que es muy fácil pasar por alto alguna sutileza y pensar que tienes una prueba válida cuando de hecho has hecho algo muy ilegal.

Por lo tanto, si no está seguro de qué cantidad de rigor es aceptable, tenga cuidado. Alternativamente, si escribe una prueba, anótela durante unos días y vuelva a leerla. Si puede llenar los vacíos en la prueba con muy poco esfuerzo, entonces probablemente tenga un buen nivel de rigor para su nivel.