¿Es más exacto decir que [math] Q (\ mathbb {Z} [\ sqrt {2}]) \ cong \ mathbb {Q} (\ sqrt {2}) [/ math] o [math] Q (\ mathbb {Z} [\ sqrt {2}]) = \ mathbb {Q} (\ sqrt {2}) [/ math]?

Answer 1

Avísame si no entiendo tu notación. Tomemos los grupos ℤ [√2] y Q [√2] como Z y Q veces √2 para que se vean como

ℤ [√2] = {… 0, √2, 2√2, 3√2…}

Q [√2] = {… 0, √2, √2 / 2, 5√2 / 7, 4556√2 / 101…}

Si multiplicamos las cifras de Q y ℤ [√2] para formar Q [ℤ [√2]], sería algo así como

Q [ℤ [√2]] = {… 0, √2, 2√2, 3√2…. 0, √2 / 2, 2√2 / 2, 3√2 / 2…. 0, 5√2 / 7, 5 * 2√2 / 7, 5 * 3√2 / 7 …}

Pero esto contiene elementos redundantes (2√2 / 2 = √2). En cambio, podemos tener la multiplicación definida en pares de Q y ℤ [√2] donde cada par es único

Q [ℤ [√2]] = {… (1,0), (1, √2), (1,2√2), (1,3√2)… (1 / 2,0), (1 / 2, √2), (1 / 2,2√2), (1 / 2,3√2)….}

Parece más preciso utilizar la segunda forma y decir Q [ℤ [√2]] ≅ Q [√2], ya que los pares de Q [ℤ [√2]] tienen un homomorfismo con Q [√2] (más de un elemento se asignará a cada elemento en Q [√2], pero conserva la estructura algebraica de multiplicación definida en pares de Q y ℤ [√2])

Answer 2

En la teoría de tipos de homotopía, la “igualdad” de las estructuras matemáticas es la noción apropiada de equivalencia. Esto justifica formalmente la práctica matemática común de identificar estructuras matemáticas equivalentes. Así que usaría un signo igual sin ningún tipo de culpa.