¿Hay enteros distintos por pares [matemática] (x, y, z [/ matemática]) y un número primo impar [matemática] p [/ matemática] tal que [matemática] p [/ matemática] divide ambos [matemática] x + y + z [/ math] y [math] 1 – xyz? [/ math]

Gracias por el A2A. Por supuesto, hay algunos. De hecho, puede encontrar fácilmente infinitos de ellos.

Elija cualquier [math] u \ in \ mathbb {Z} \ setminus \ {1, -1, 0 \}. [/ Math]

Sea [matemática] x = 1, y = u, z = u ^ 2. [/ matemática] Por lo tanto, los tres números son distintos.

Entonces [matemáticas] a: = x + y + z = 1 + u + u ^ 2, \; b: = 1-xyz = 1-u ^ 3 = (1-u) (1 + u + u ^ 2) = (1-u) a. [/ math]

Tenga en cuenta que [math] a \ neq 1 [/ math] es impar. Ahora puede elegir como [matemática] p [/ matemática] cualquier factor primo de [matemática] a [/ matemática] (también son impares).

Por ejemplo, sea [matemática] u = 10. [/ matemática] Entonces [matemática] (x, y, z) = (1,10,100), \, a = 111, \, [/ matemática] [matemática] b = -999. [/ Matemáticas]

Entonces puede elegir [matemáticas] p = 3 [/ matemáticas] o [matemáticas] p = 37. [/ Matemáticas]

Estoy de acuerdo con Phil Albert, las limitaciones de este problema son demasiado flojas, por lo que la respuesta es trivial.

Debe definir las restricciones y / o explicar qué principio está considerando. De lo contrario, es solo un juego de adivinanzas con respuestas que no proporcionan una visión particular. Las restricciones eliminarían los casos triviales, porque no proporcionan una visión particular. Pero entonces, incluso si tuviera que agregar la restricción para preguntar:

¿Hay alguna solución para [matemáticas] p | (x + y + z) [/ matemáticas] y [matemáticas] p | (xyz-1) [/ matemáticas] para algunos enteros positivos distintos [matemáticas] x [/ matemáticas] , [matemática] y [/ matemática], [matemática] z [/ matemática], y un primo impar [matemática] p [/ matemática]?

La respuesta sería sí, como (1, 4, 7) y p = 3, pero eso no necesariamente proporciona ninguna idea particular.