¿Podemos encontrar tres enteros positivos, [matemática] x [/ matemática], [matemática] y [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática] tal que: [matemática] x ^ \ pi + y ^ \ pi = z ^ \ pi [/ matemáticas]? ¿Qué tal tres enteros tales que: [matemáticas] x ^ e + y ^ e = z ^ e [/ matemáticas]?

Answer 1

Primero, comencemos con algunas definiciones que serán útiles para este tema y esta respuesta.

Un número es algebraico si es la raíz de un polinomio con coeficientes enteros. No todos los números racionales son algebraicos, los números algebraicos también pueden ser reales o complejos.

Un número trascendental es un número que no es algebraico, ‘trasciende’ los números que son raíces de polinomios que tienen coeficientes enteros.

Este puede ser un tema amplio y diversificado, pero comenzaré respondiendo (o tratando de responder con precisión) la pregunta dada, luego se pueden discutir otros temas relacionados.

Para la pregunta dada, las soluciones triviales obvias incluyen los siguientes enteros:

[matemáticas] \ displaystyle (x, y, z) = (0,0,0) [/ matemáticas]; [matemáticas] \ displaystyle (x, y, z) = (a, 0, a) [/ matemáticas]; [matemáticas] \ displaystyle (x, y, z) = (0, a, a) [/ matemáticas].

Las ecuaciones se parecen a las del último teorema de Fermat, pero aquí las potencias son [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] y [matemáticas] e [/ matemáticas], que son números irracionales y trascendentales.

Traté de encontrar soluciones con la ayuda de Maple y Mathematica, pero parece que Maple no da respuestas perspicaces u originales y precisas como Mathematica.

Como solución general para [math] \ displaystyle x ^ {\ pi} + y ^ {\ pi} = z ^ {\ pi} [/ math], si comenzamos con dos enteros dados [math] x [/ math] y [matemática] y [/ matemática], [matemática] z [/ matemática] estará dada por:

[matemáticas] \ displaystyle (x, y, z) = \ left (x, y, \ left (x ^ {\ pi} + y ^ {\ pi} \ right) ^ {1 / \ pi} \ right) [ /matemáticas]

De manera similar para [matemáticas] \ displaystyle x ^ e + y ^ e = z ^ e [/ matemáticas], comenzando con dos enteros dados [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas], [matemáticas] z [/ math] será dado por:

[matemáticas] \ displaystyle (x, y, z) = \ left (x, y, \ left (x ^ e + y ^ e \ right) ^ {1 / e} \ right) [/ math]

Se puede ver que si [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] son ​​enteros, [matemática] z [/ matemática] probablemente no sea un entero.

A continuación se muestra una gráfica 3D de [matemáticas] \ displaystyle x ^ {\ pi} + y ^ {\ pi} = z ^ {\ pi} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ displaystyle x ^ e + y ^ e = z ^ e [/ matemáticas]:

El código de Mathematica para la gráfica anterior es:

ContourPlot3D [{x ^ Pi + y ^ Pi – z ^ Pi == 0, x ^ E + y ^ E – z ^ E == 0},
{x, 0, 200}, {y, 0, 200}, {z, 0, 200},
Malla -> Ninguno, PlotTheme -> “Detallado”]

Aquí hay otra gráfica 3D similar que muestra la forma de las soluciones y curvas para [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] entre 300 y 400, y para [matemática] z [/ matemática] entre 370 y 450:

A continuación se muestra un gráfico discreto que muestra los valores de [matemáticas] \ displaystyle x ^ {\ pi} + y ^ {\ pi} = z ^ {\ pi} [/ math] (o equivalente [math] \ displaystyle z = \ left (x ^ {\ pi} + y ^ {\ pi} \ right) ^ {1 / \ pi} [/ math]) para x e y de 1 a 20:

Código de Mathematica para la gráfica anterior:

DiscretePlot3D [(x ^ Pi + y ^ Pi) ^ (1 / Pi), {x, 1, 20}, {y, 1, 20},
ColorFunction -> Function [{x, y}, ColorData [“NeonColors”] [y]]]

Y a continuación se muestra el gráfico discreto que muestra los valores de [math] \ displaystyle x ^ e + y ^ e = z ^ e [/ math] (o [math] \ displaystyle z = \ left (x ^ e + y ^ e \ derecha) ^ {1 / e} [/ math]) para x e y de 1 a 30:

Traté de idear una prueba para encontrar si para los valores enteros de x e y entre 1 y 5000, se podía encontrar un valor entero de z. Utilicé el siguiente código de Mathematica para la potencia [math] \ pi [/ math]:

kr = (i ^ Pi + j ^ Pi) ^ (1 / Pi);
Tabla [If [IntegerQ [kr], kr, (## 1 &) []], {i, 1, 5000, 1}, {j, 1, 5000, 1}]

No se encontró ningún valor entero de z correspondiente a los enteros x e y (o i y j).

Se usó la misma prueba para valores enteros de x e y que varían entre 1 y 5000 y para la potencia [matemática] e [/ matemática], y no se encontró ningún valor entero de z.

A la luz de los resultados y las pruebas anteriores, creo que se puede extrapolar o conjeturar o concluir que no hay tres enteros positivos [matemática] x [/ matemática] , [matemática] y [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática ] se puede encontrar de manera tal que [matemática] \ displaystyle x ^ {\ pi} + y ^ {\ pi} = z ^ {\ pi} [/ math] y [math] \ displaystyle x ^ e + y ^ e = z ^ e [/ matemáticas]. Si dos de estos números son enteros, el tercero no es un entero. Por supuesto, si o cuando se encuentra un contraejemplo, mi declaración anterior será incorrecta, pero creo que es muy poco probable.

El número [math] \ displaystyle z = \ left (x ^ e + y ^ e \ right) ^ {1 / e} [/ math] o [math] \ displaystyle z = \ left (x ^ {\ pi} + y ^ {\ pi} \ right) ^ {1 / \ pi} [/ math] podría ser irracional, o irracional y trascendental. Probar si el número z anterior no es algebraico usando el símbolo del Elemento [] incorporado en Mathematica y el uso de Wolfram Alpha dio resultados diferentes e inconclusos.

Los valores complejos para [matemática] x [/ matemática], [matemática] y [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática] se pueden encontrar utilizando la función incorporada FindInstance [] en Mathematica.

Ahora presentaré algunas observaciones y resultados sobre el último teorema de Fermat para exponentes fraccionales e irracionales de Frank Morgan (1) , mencionado por Tom Hyer.

Para la ecuación [matemáticas] 2 ^ x + 3 ^ x = 4 ^ x [/ matemáticas], la solución real es más exactamente igual a:

[matemáticas] x = 1.507126591638653145821535872528329491615 [/ matemáticas]

Se pueden encontrar otros valores complejos de x utilizando la función FindInstance [] en Mathematica.

Para la ecuación [matemáticas] \ displaystyle 1 ^ n + 2 ^ n = 4 ^ n [/ matemáticas], n tiene la siguiente solución general (valor complejo) según Mathematica:

Se pueden encontrar muchos valores complejos específicos de n usando FindInstance [], como:

Al resolver la ecuación para [math] n \ in \ mathbb {R} [/ math], se obtiene el resultado:

que concuerda con el resultado encontrado en el documento (1).

[math] \ text {csch} ^ {- 1} (x) [/ math] es la cosecante hiperbólica inversa de [math] x [/ math].

Al buscar otros valores con la ayuda de Mathematica, revisé y encontré el siguiente resultado:

Exploré y calculé otros resultados relacionados con la pregunta y el artículo (1) con Mathematica, y recopilé estos resultados en tres archivos pdf que coloqué en mi sitio web / blog. Para aquellos interesados, aquí están los enlaces a estos archivos:

https: //knowledgemix.files.wordp…

https: //knowledgemix.files.wordp…

https: //knowledgemix.files.wordp…

Espero que mi respuesta haya sido útil y útil.

Answer 2

Creo que esta es una pregunta espectacularmente difícil.

Considere que el último teorema de Fermat solo se demostró después de aproximadamente un siglo de trabajo acumulativo, basado en las propiedades de los enteros. Esta consulta elimina los enteros del problema, invalidando así todas las herramientas que finalmente ayudaron a probar FLT.

Sin embargo, la siguiente afirmación es verdadera: los números reales [matemática] x [/ matemática] para los cuales [matemática] a ^ x + b ^ x = c ^ x [/ matemática] tiene soluciones con un entero [matemática] a [/ math], [math] b [/ math] y [math] c [/ math] forman un conjunto de medida cero.

(Estos [matemática] x [/ matemática] no pueden ser racionales, excepto para [matemática] x = 1 / n [/ matemática] y [matemática] x = 2 / n [/ matemática], sin generar violaciones de FLT. Ver página en maa.org para un boceto de una prueba. Una ecuación como [math] 2 ^ x + 3 ^ x = 4 ^ x [/ math] tiene una solución real, cercana a 1.5, pero irracional).

(Para aquellos sin antecedentes de análisis real: “conjunto de medida cero” no es lo mismo que “conjunto vacío”. Significa que dado un número positivo [matemáticas] \ epsilon [/ matemáticas], puedo especificar un conjunto de intervalos abiertos con una longitud total [math] \ epsilon [/ math] que colectivamente contiene cada punto del conjunto, sin importar cuán pequeño sea [math] \ epsilon [/ math]. Por lo tanto, cualquier conjunto de puntos contables (como los racionales) tiene una medida cero – Envuelvo el primer elemento en un intervalo de longitud [matemáticas] \ epsilon / 2 [/ matemáticas], el siguiente con longitud [matemáticas] \ epsilon / 4 [/ matemáticas], y así sucesivamente. Muchos conjuntos incontables, como el Cantor conjunto, también tiene medida cero.)

Para obtener más y mejor información, consulte la respuesta de Daniel McLaury a ¿Hay algún trabajo notable sobre el último teorema de Fermat para los poderes reales positivos?

Answer 3

Aquí hay un buen gráfico que muestra x ^ π + y ^ π = z ^ π
En cualquier parte de este plano hay un punto donde x ^ π + y ^ π = z ^ π es verdadero. El hecho de que ninguno de los puntos entre 1 y 100 corresponda a valores enteros en las direcciones x, y y z no es un problema. Solo tenemos que extender esto hasta llegar a un punto en el que esto sea cierto. Pi es un número fundamentalmente irracional. El último teorema de Fermat, creo, afirmó que no sería posible un número entero n para x ^ n + y ^ n = z ^ n. Pi, sin embargo, no es un número entero. Solo por diversión, intenté obtener un valor entero a través de prueba y error. Los enteros reales del poder de pi se vuelven tan irracionales como pi, por lo general, pero si vamos a números de amplitud arbitraria, digamos, un entero tan irracional como pi, que por supuesto tendría un número infinito de dígitos, por lo tanto, una amplitud infinita, podría ser posible obtener un número entero de eso.

Answer 4

Noam Elkies escribió un artículo sobre esto que considera esta ecuación [matemáticas] [1] [/ matemáticas]. Si bien los resultados en su documento en realidad no responden a su pregunta, diría que es justo conjeturar que no se basa en los datos numéricos de su documento. En general, como se menciona en las otras respuestas, esta es una pregunta difícil de responder.

---

[matemáticas] [1] [/mathfont>http://arxiv.org/pdf/math/000513…

Answer 5

No soy un experto en matemáticas, pero creo que lo que estás buscando es el último teorema de Fermat:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/ …

“En teoría de números, el último teorema de Fermat (a veces llamado conjetura de Fermat , especialmente en textos más antiguos) establece que no hay tres enteros positivos a , byc que satisfagan la ecuación an + bn = cn para cualquier valor entero de n mayor que dos. Se sabe que los casos n = 1 yn = 2 tienen infinitas soluciones.

Este teorema fue conjeturado por primera vez por Pierre de Fermat en 1637 en el margen de una copia de Arithmetica donde afirmó que tenía una prueba que era demasiado grande para caber en el margen. La primera prueba exitosa fue lanzada en 1994 por Andrew Wiles, y publicada formalmente en 1995, luego de 358 años de esfuerzo por parte de matemáticos. El problema no resuelto estimuló el desarrollo de la teoría de números algebraicos en el siglo XIX y la prueba del teorema de la modularidad en el siglo XX. Es uno de los teoremas más notables en la historia de las matemáticas y, antes de su prueba, estaba en el Libro Guinness de los Récords por “los problemas matemáticos más difíciles”.

Espero que ayude.

Answer 6

Creo que la respuesta se puede resolver en Matlab si tienes un vector lo suficientemente grande para la ecuación … Si resuelves Z, obtienes z = (x ^ pi + y ^ pi) ^ (1 / pi).

Puede reescribir esto como un logaritmo de Z con base (x ^ pi + y ^ pi) = 1 / pi en Matlab como

log ((x ^ pi + y ^ pi), z) = 1 / pi

Y luego resuelva para Z con un rango de vectores x e y de 1 a 1000 y vea si obtiene un número entero para Z. ¿Podría funcionar?

Answer 7

Es una pregunta muy difícil, y la presencia de ‘pi’ sugiere que el proceso es juguetón. (Pi es una constante de nivel 2).

Es bastante difícil cuando los números enteros están involucrados, pero suponer que existe una bala mágica para esto está fuera del alcance de la mayoría de los matemáticos,

Answer 8

Tenía esta pregunta yo mismo.

Descubrí que debe haber una solución, ya que existe el principio de que:

Hay una cantidad infinita de soluciones a la ecuación:

[matemática] A ^ x + B ^ x = C ^ x [/ matemática] para x, que es cualquier tipo de número que no es complejo.

Puede usar trillizos pitagóricos por los cuales en lugar de tener x, y y z puede tener [matemáticas] A ^ x + B ^ x = C ^ x. [/ Matemáticas]

Debido a FLT, ya sabemos que cualquier prueba de este tipo que exista debe ser irracional, ya que una respuesta racional conduciría a una contradicción con bastante rapidez.

Alternativamente, puede tener un exponente y simplemente tener los dos registros que se suman, y esto significa que serán una solución irracional.

En cuanto a la OP, no podemos decir si hay un cierto número de soluciones para la ecuación, ya que no existe una prueba completa, sin embargo, podemos encontrar algunas con el modelado por computadora de los gráficos de contorno y también el análisis de la fuerza bruta de la función, simplemente probando cada número posible; y de las otras respuestas es evidente que debe haber una solución.

Para más información, sigue aquí.