¿Por qué no hay triples pitagóricos en los que tanto X como Y sean extraños?

Answer 1

Cada Triple pitagórico satisface la ecuación: [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 [/ matemática] para algunos enteros positivos x, y y z.

Si x es impar, entonces [matemática] x ^ 2 [/ matemática] también es impar, porque una impar multiplicada por una impar es impar.

De manera similar, si y es impar, entonces [math] y ^ 2 [/ math] también es impar.

Pero entonces [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemáticas] sería par, porque si suma dos números impares, obtendrá un número par.

Eso significa que [matemáticas] z ^ 2 [/ matemáticas] es par. Y esto solo puede suceder si z es par. Por lo tanto, z puede escribirse como [matemática] z = 2b [/ matemática] para algún entero b, entonces [matemática] z ^ 2 = 4b ^ 2 [/ matemática]. Y entonces:

(1) [matemática] z ^ 2 [/ matemática] es un múltiplo de 4.

Ahora, dado que xey son impares, podemos escribirlos como:

[matemáticas] x = 2k + 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] y = 2j + 1 [/ matemáticas]. Entonces,

(2) [matemáticas] z ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 + (2j + 1) ^ 2 = 4k ^ 2 + 4k + 4j ^ 2 + 4j + 2 [/ matemáticas ]

Puede ver que 4 no es un factor de [matemáticas] z ^ 2 [/ matemáticas], porque 4 factores de cada término, excepto el último término, 2.

Pero (1) y (2) se contradicen entre sí, porque [math] z ^ 2 [/ math] no puede ser un factor de 4 y NO puede ser un factor de 4.

Por lo tanto, probar que x e y no pueden ser impares.

Answer 2

Primero tenga en cuenta que si [math] k [/ math] es impar, entonces tenemos que [math] k ^ 2 \ equiv 1 \; (\ text {mod} \; 4) [/ math] (ya que un número impar es siempre de la forma [matemáticas] 2n + 1 [/ matemáticas] para algunas [matemáticas] n [/ matemáticas]).

Si tuviéramos un triple pitagórico [matemática] (a, b, c) [/ matemática] donde [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 [/ matemática] y [matemática] a [/ matemática] y [ matemática] b [/ matemática] eran impares, entonces [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemática] sería par y por lo tanto tendríamos [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 \ equiv 2 \; ( \ text {mod} \; 4). [/ math] Pero [math] c ^ 2 [/ math] sería par, y solo podemos tener eso si [math] c [/ math] también es par, es decir, de la forma [matemáticas] 2n [/ matemáticas] para algunas [matemáticas] n. [/ math] Pero entonces tendríamos [math] c ^ 2 \ equiv 0 \; (\ text {mod} \; 4). [/ math]