Cómo resolver la ecuación [matemáticas] x ^ 3-10x ^ 2 = 4000 [/ matemáticas]

Answer 1

Sospecho que otras respuestas son mejores, más rápidas y más generalizables que las mías, pero así es como lo hice (suponiendo una solución entera):

La expresión LHS se simplifica a x ^ 2 * (x-10).

La raíz cúbica de 4000 se encuentra entre 10 y 20.

Los factores primos de 4000 son 2 ^ 5 * 5 ^ 3.

Tenemos que distribuir estas tres potencias de 5 sobre las expresiones x ^ 2 y x-10. Debido a que x-10 es divisible por 5 si y solo si x es divisible por 5, la única posibilidad es que x sea un múltiplo de 5, pero no de 25.

Del mismo modo, x-10 es un múltiplo de 2 si y solo si x es un múltiplo de 2. Sin embargo, es un múltiplo de 4 si x es un múltiplo de 2 pero no 4. Entonces podemos distribuir los poderes de 2 haciendo xa múltiplo de 4: eso significa que la expresión x ^ 2 será un múltiplo de 16 y x-10 será un múltiplo de 2 pero no de 4.

Entonces, cuando hemos distribuido todos los factores primos, sabemos que x tiene factores de 4 y 5. Entonces x = 4 * 5 = 20.

Answer 2

Supongamos que hay una solución entera. Entonces, como [matemática] x ^ 3 – 10x ^ 2 = x ^ 2 (x-10) [/ matemática], para que [matemática] x ^ 3 – 10x ^ 2 [/ matemática] sea un múltiplo de 10, debemos tener que [math] x [/ math] es un múltiplo de 10. Entonces, [math] x = 10y [/ math], donde [/ math] y [/ math] es un número entero. Sustituyendo, encontramos [matemáticas] 1000y ^ 3 – 1000y ^ 2 = 4000 \ Rightarrow y ^ 3 – y ^ 2 = 4 [/ matemáticas].

Ahora, tenga en cuenta que [math] \ frac {d} {dy} (y ^ 3 – y ^ 2) = 3y ^ 2 – 2y = y (3y-2) [/ math], que es negativo si [math] 0

Para [matemática] y> 2/3 [/ matemática], podemos adivinar y verificar, y dado que [matemática] y ^ 3 – y ^ 2 [/ matemática] está aumentando en esta región, es fácil hacer una “búsqueda binaria” el espacio de [matemáticas] y [/ matemáticas]. Por ejemplo, si adivinamos [matemática] y = 4 [/ matemática], podemos ver que [matemática] y ^ 3 – y ^ 2 = 48> 4 [/ matemática], por lo que el valor correcto debe ser menor que [matemática] ] 4 [/ matemáticas]. Finalmente llegamos a [matemáticas] y = 2 [/ matemáticas].

Entonces, dado que [math] x = 10y [/ math], encontramos que [math] x = 20 [/ math] es la única solución: tenemos suerte de que haya una solución entera.

También puedes usar la fórmula cúbica …
Función cúbica

Answer 3

Enfoque general para tales problemas
Intenta dibujar el gráfico aproximadamente

Teniente x-> infinito e infinito negativo
F (x) = ??
¿Es F (x) continua?
Si sí y el rango F (x) es infinito, entonces existe una solución
El comportamiento general de un polinomio de enésimo grado impar puede tener n-1 máximas y mínimas locales, n-2 puntos de inflexión
Generalmente es más fácil encontrar las raíces ya que son de menor grado
En general, puede ver la naturaleza de la curva y obtener una buena estimación de dónde podría estar la solución

En este problema
F (x) = x ^ 3 -10x ^ 2-4000
Teniente x-> infinito F (x) -> inifinidad
Lt. x-> infinito negativo F (x) -> infinito negativo
F (x) es continua
Entonces definitivamente existe una solución

Siguiente para encontrar máximos y mínimos locales
F ‘(x) = 3x ^ 2-20x
F ‘(x) = 0 soluciones de máximos y mínimos locales
Máxima local = 0,20 / 3
F (0) = – 4000
F (20/3) = (8000/27 -40000/9) = – 4,148

Entonces la solución es definitivamente mayor que x = 6
Ahora para encontrar la solución exacta
Un enfoque más fácil
Dividir la función
x ^ 2 (x-10) = 4000
x ^ 2 (x-10) = (2 ^ 5) * (5 ^ 3)
Definitivamente necesitamos un hacha mayor de 10 ya que x <10 da LHS negativo

x ^ 2 (x-10) = ((2 * 5) ^ 2) * (2 ^ 3) * (5 ^ 1)
Intuición general
x ^ 2 (x-10) = ((2 * 5) ^ 2) * (2 ^ 2) * (2 * 5)
RHS tiene que ser un múltiplo de un cuadrado perfecto y un número
Entonces tomando 2 también dentro del cuadrado
x ^ 2 (x-10) = ((2 * 2 * 5) ^ 2) * (2 * 5)
x ^ 2 (x-10) = ((20) ^ 2) * (10)
Entonces x = 20

Answer 4

Para resolver un polinomio en cualquier grado, primero debemos usar la regla de signos de Descartes https://en.m.wikipedia.org/wiki/ …
Esta no es una regla, sino una inferencia a la que se llegó después de resolver varios problemas mientras se preparaba para CAT. A la luz de este enfoque, la ecuación da como resultado lo siguiente
f (x) = x ^ 3 – 10x ^ 2 – 4000 = 0

Ahora use la regla de Descartes para encontrar el número de soluciones positivas contando los cambios de signo en f (x) = 0
Aquí ninguno de los cambios de signo es 1, por lo tanto, no de raíces positivas es 1 al máximo. Del mismo modo, f (-x) = 0 tiene 0 cambios de signo, por lo tanto, tiene 0 raíces negativas.
Ahora
x ^ 2 (x-10) = 4000
=> x> 10 como x ^ 2 es positivo.
Y

• X tiene que ser un múltiplo de 10 ya que el último dígito de rhs es 0 y 0 se puede obtener multiplicando 2 y 5 o 0 y 0. Aquí no es posible 2 * 5. Por golpe y prueba en solo el segundo intento, obtienes x = 20

Answer 5

Asumiré que esto es un problema para la escuela secundaria, por lo que no hay fórmulas de raíz cúbica o cualquier teorema que pueda usar para llegar a la única respuesta valorada real.

Lo que necesitaremos es una factorización simple, tanto para polinomios algebraicos como para enteros.

Entonces, en el lado izquierdo tenemos [matemáticas] x ^ {3} -10x ^ {2} = x ^ {2} (x-10) [/ matemáticas]. Bastante sencillo.

En el lado derecho, sabemos que la factorización en factores primos de [matemáticas] 4000 [/ matemáticas] es [matemáticas] 2 ^ {5} 5 ^ {3} [/ matemáticas], y ahora todo lo que tenemos que hacer es agrupar esto factores para que se vean como [matemáticas] x ^ {2} (x-10) [/ matemáticas].

Podemos jugar de manera inteligente y notar que necesitamos que nuestro valor para [math] x [/ math] sea mayor que 10, porque [math] (x-10) [/ math] debería ser positivo, así que tomaremos

[matemáticas] x = 2 \ veces 2 \ veces 5 = 20 [/ matemáticas]

que es el número entero más pequeño que podemos obtener con nuestra colección de factores. Ciertamente podemos reescribir los factores de 4000 como

[matemáticas] (2 \ veces 2 \ veces 5) ^ {2} \ veces 2 \ veces 5 [/ matemáticas]

Ahora verificamos si esta solución funciona:

[matemáticas] 20 ^ {2} (20-10) = 400 \ veces 10 = 4000 [/ matemáticas]

Y ahí lo tienes.

Espero que esta solución se ajuste a sus necesidades, porque es mi opinión que no sirve de nada usar teoremas sofisticados o qué no si no comprende primero los conceptos básicos de las matemáticas (como la factorización) y lo usa para un problema que no debería tener una complicación solución.

editar: James Barton es similar a la mía hasta la factorización de ambos lados de la ecuación, por lo que espero que pueda obtener una nueva visión de la posibilidad de usar [matemáticas] (x-10) [/ matemáticas] como una forma de obtener un límite inferior (10) para el valor de [math] x [/ math].

Answer 6

Enfoque de secundaria:

Supongamos que x = n es una raíz entera, entonces [math] (xn) | x ^ 3-10x ^ 2-4000 [/ math].
Ponga x = 0, tenemos [matemáticas] n | 4000 [/ matemáticas].
Ponga x = 1, obtenemos [matemáticas] (n-1) | 4009 = 19 \ cdot 211 [/ matemáticas].
También está claro que cualquier raíz real debe ser positiva, por lo que la única posibilidad de [math] n [/ math] es 20.
Y afortunadamente, [matemáticas] 20 ^ 3-10 * 20 ^ 2 = 400 (20-10) = 4000 [/ matemáticas].

Answer 7

Puede reorganizar la expresión en:
[matemáticas] x ^ 3-10x ^ 2-4000 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] a = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] b = -10 [/ matemáticas]
[matemáticas] c = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] d = -4000 [/ matemáticas]

Usa la fórmula de la raíz cúbica:

[matemáticas] x = \ sqrt [3] {\ dfrac {-b ^ 3} {27a ^ 3} + \ dfrac {bc} {6a ^ 2} – \ dfrac {d} {2a} + \ sqrt {\ dfrac {-b ^ 3} {27a ^ 3} + \ dfrac {bc} {6a ^ 2} – \ dfrac {d} {2a} + (\ dfrac {c} {3a} – \ dfrac {b ^ 2} { 9a ^ 2}) ^ 3}} + \ sqrt [3] {\ dfrac {-b ^ 3} {27a ^ 3} + \ dfrac {bc} {6a ^ 2} – \ dfrac {d} {2a} – \ sqrt {\ dfrac {-b ^ 3} {27a ^ 3} + \ dfrac {bc} {6a ^ 2} – \ dfrac {d} {2a} + (\ dfrac {c} {3a} – \ dfrac { b ^ 2} {9a ^ 2}) ^ 3}} – \ dfrac {b} {3a} [/ math]

Es realmente desordenado, pero creo que deberías continuar desde aquí …

Answer 8

En esta instancia, siempre está buscando intersección con [math] y = 0 [/ math]. eso significa que primero quieres llevar todo a un lado para que tu ecuación = 0.
[matemáticas] x ^ 3-x ^ 2-4000 = 0 [/ matemáticas].
Con los polinomios está buscando factores, por lo que de inmediato puede ver [matemáticas] x ^ 3-x ^ 2 [/ matemáticas]. tiene [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] en común. así que descúbrelo.
[mathx ^ 2 * (x-1) -4000 = 0 [/ math]
[matemáticas] 4000 = 20 ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2 * (x-1) -20 ^ 2 = 0 [/ matemáticas]
tenemos casi [matemáticas] x ^ 2-20 ^ 2 = 0 [/ matemáticas] eso debería ser fácil
reescribir eq como tal
[matemáticas] x ^ 2 * (sgrt (x-1)) ^ 2-20 ^ 2 = 0 [/ matemáticas]
Ahora debería ser fácil.