Deje f ser la función:
(1) [matemáticas] \ left (x_ {1},…, x_ {n} \ right) \ mapsto f \ left (x_ {1},…, x_ {n} \ right) [/ math]
donde [matemática] x_ {1} = x_ {1} \ izquierda (t \ derecha),…, x_ {n} = x_ {n} \ izquierda (t \ derecha) [/ matemática]
Calculemos [math] \ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t} [/ math].
Al diferenciar (1) obtenemos:
(2) [matemáticas] df = \ frac {\ partial f} {\ partial x_ {1}} dx_ {1} +… + \ frac {\ partial f} {\ partial x_ {n}} dx_ {n} [ /matemáticas]
- ¿Soy tonto o vago? También obtuve malos resultados en mis colocaciones de matemáticas en la universidad, colocando una clase detrás de Álgebra universitaria, no estudié en absoluto.
- ¿Cuál es el valor del ángulo x en el siguiente problema geométrico? Por favor proporcione la razón también.
- ¿Por qué (cosx + isinx) ^ n tendrá muchos valores (n es una fracción)?
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- ¿Cuál es el signo de álgebra de una raíz cuadrada con un 2 o 3 en el costado? ¿Cómo encuentras la respuesta a eso en 4?
Si dividimos ambos lados por dt, el resultado es:
[matemáticas] df = \ frac {\ partial f} {\ partial x_ {1}} \ frac {\ text {d} x_ {1}} {\ text {d} t} +… + \ frac {\ partial f } {\ partial x_ {1}} \ frac {\ text {d} x_ {n}} {\ text {d} t} [/ math]
Obtenemos el resultado final:
[matemáticas] \ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t} = \ frac {\ partial f} {\ partial x_ {1}} x ‘_ {1} (t) +… + \ frac {\ partial f} {\ partial x_ {n}} x ‘_ {n} (t) [/ math]
Esta derivación se realiza utilizando la definición de diferencial de una función multivariable (ecuación (2)).
Entonces, ¿cómo obtuvimos esta definición? Veamos primero cómo definimos que f es diferenciable en algún punto A.
Si podemos mostrar que el diferencial total de una función f en algún punto A se ve así:
[matemáticas] \ triangle f (A) = \ sum_k ^ n p_ {k} \ triangle x_ {k} + \ omega (X) \ rho (X, A)
[/matemáticas]
donde [math] p_ {k} [/ math] es algún coeficiente numérico, [math] \ omega [/ math] es una función que tiene una propiedad que [math] \ lim_ {X \ rightarrow A} \ omega (X) = \ omega (A) = 0 [/ math] y [math] \ rho (X, A) [/ math] es la distancia euclidiana entre A y X, entonces decimos que la función f puede diferenciarse en el punto A.
Ahora, necesitaremos un teorema más:
La expresión [matemática] \ omega (X) \ rho (X, A) [/ matemática] de lo anterior se puede escribir como:
[matemáticas] \ omega (X) \ rho (X, A) = \ sum_k ^ n \ epsilon_ {k} (X) (x_ {k} -a_ {k}) [/ matemáticas]
Prueba:
[matemáticas] \ omega (X) \ rho (X, A) = \ omega (X) \ frac {\ rho (X, A) ^ {2}} {\ rho (X, A)} = \ omega (X ) \ frac {\ sum_k ^ n (x_ {k} -a_ {k}) ^ {2}} {\ rho (X, A)} [/ math]
[matemáticas] = \ sum_k ^ n \ left (\ frac {\ omega (X) (x_ {k} -a_ {k})} {\ rho (X, A)} \ cdot \ left (x_ {k} – a_ {k} \ right) \ right) [/ math]
dado que [math] | x_ {k} -a_ {k} | \ leq rho (X, A) [/ math], porque [math] | x_ {k} -a_ {k} | [/ math] es el borde y [math] \ rho (X, A) [/ math] es la diagonal del paralelepípedo en ángulo recto, podemos tomar la fracción como [math] \ epsilon_ {k} (X) [/ math].
Ahora solo necesitamos un teorema más para llegar al diferencial. Este teorema nos da las condiciones necesarias para tener el diferencial de la función.
Si la función f se puede diferenciar en algún punto A, entonces hay diferenciales parciales en ese punto y es cierto que:
(1) [matemáticas] L (X) = \ sum_k ^ n p_ {k} (x_ {k} -a_ {k}) = \ sum_k ^ n \ frac {\ partial f} {\ partial x_ {k}} | _ {A} (x_ {k} -a_ {k}) [/ matemáticas]
Prueba:
Como hemos dicho que f puede diferenciarse en el punto A, podemos escribir:
[matemáticas] f (X) -f (A) = \ sum_k ^ n p_ {k} (x_ {k} -a_ {k}) + \ omega (X) \ rho (X, A) [/ matemáticas]
Digamos que las variables n-1 aquí son constantes, y dejaremos que solo una cambie poco a poco. Por ejemplo: [matemáticas] x_ {2} = a_ {2}, …, x_ {n} = a_ {n} [/ matemáticas], obtenemos:
[matemáticas] f (x_ {1}, a_ {2}, …, x_ {n}) – f (a_ {1}, a_ {2}, …, x_ {n}) = p_ {1} (x_ { 1} -a_ {1}) + \ omega (X) | x_ {1} -a_ {1} | [/matemáticas].
En el lado izquierdo tenemos diferencial con respecto a [math] x_ {1} [/ math]. Si dividimos ambos lados entre [matemáticas] x_ {1} -a_ {1} = \ triangle x_ {1} [/ matemáticas] obtendremos:
[matemáticas] \ frac {\ triangle f_ {x_ {1}}} {\ triangle x_ {1}} = p_ {1} + \ omega (X) \ cdot sgn (x_ {1} -a_ {1}) [ /matemáticas]
Ahora, si [math] x_ {1} \ mapsto a_ {1} [/ math], es decir [math] \ triangle x_ {1} \ mapsto 0 [/ math], en el lado izquierdo tenemos un diferencial parcial con respecto a [matemática] x_ {1} [/ matemática], y en el lado derecho nos queda con [matemática] p_ {1} [/ matemática] porque hemos dicho que [matemática] \ omega (X) \ mapsto 0 [/matemáticas].
Es fácil ver que el mismo resultado se aplica sin importar qué variable terminemos cambiando, por lo tanto, hemos demostrado este teorema. Desde aquí tenemos eso
[math] df = \ frac {\ partial f} {\ partial x_ {1}} dx_ {1} +… + \ frac {\ partial f} {\ partial x_ {n}} dx_ {n} [/ math]
que usamos para encontrar la solución.