¿Por qué (cosx + isinx) ^ n tendrá muchos valores (n es una fracción)?

Answer 1

Esta pregunta se puede resolver utilizando el concepto de números complejos.
Considere un número complejo [matemáticas] z = a + ib [/ matemáticas]. La forma polar de z es r [matemáticas] (cos \ theta + isin \ theta) [/ matemáticas]. r es igual a [math] \ mid z \ mid [/ math] y [math] \ theta [/ math] es el argumento de z.
En este caso [matemática] \ mid z \ mid [/ math] es igual a 1. La forma polar de un número complejo elevado a la potencia de un número n, donde n es un número racional, puede evaluarse usando el Teorema de De Moivre que establece que [math] (cos \ theta + isin \ theta) ^ {n} = cos (n \ theta) + isin (n \ theta) [/ math].
Sea n un número entero tal que 1 / n sea una fracción. Por lo tanto, al usar el teorema de De Moivre [matemáticas] (cos \ theta + isin \ theta) ^ {\ frac {1} {n}} = (cos (\ frac {\ theta} {n}) + isin (\ frac { \ theta} {n})) [/ math].
Pero [math] cos \ theta [/ math] y [math] sin \ theta [/ math] son ​​funciones periódicas con un período igual a [math] 2 \ pi [/ math]. Por lo tanto, [matemáticas] (cos (\ theta) + isin (\ theta)) = (cos (2m \ pi + \ theta) + isin (2m \ pi + \ theta)), m = 0,1,2… [ /matemáticas]. Esto implica que [matemáticas] (cos (\ theta) + isin (\ theta)) ^ {\ frac {1} {n}} = (cos (2m \ pi + \ theta) + isin (2m \ pi + \ theta )) ^ {\ frac {1} {n}} = (cos (\ frac {2m \ pi + \ theta} {n}) + isin (\ frac {2m \ pi + \ theta} {n})) [ /matemáticas].
Ahora, sustituyendo diferentes valores de m = 0,1,2, … (n-1), podemos obtener valores distintos de [matemáticas] (cos (\ theta) + isin (\ theta)) ^ {\ frac {1} {n}} [/ matemáticas].
Nota: Para valores de m mayores o iguales a n, los valores de [math] (cos (\ theta) + isin (\ theta)) [/ math] se repetirán como [math] cos [/ math] y [math] sin [/ math] son ​​funciones periódicas.