Cómo resolver [matemáticas] \ frac {d} {dx} \ left (\ log \ left (\ frac1 {x + 1} \ right) \ right) [/ math]

Answer 1

-A2A-

Antes de continuar, supongo que el logaritmo utilizado en el problema es el logaritmo natural (Base e) y lo usaría en ln.

Claramente, es una función compuesta y utilizamos una regla de cadena para diferenciar una función compuesta. Sin embargo, tenemos la opción de simplificar la expresión dada usando las propiedades de logaritmo.

[matemáticas] ln \ izquierda (\ frac1 {x + 1} \ derecha) \ = ln1 – ln (x + 1) \ = -ln (x + 1) [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] \ frac {d} {dx} \ left (ln \ left (\ frac1 {x + 1} \ right) \ right) \ = \ frac {d} {dx} \ left (-ln (x +1) \ right) [/ math]

Hay dos niveles de anidamiento en la expresión de función compuesta dada.

Deje [math] y = -ln (x + 1) [/ math] y [math] u = x + 1 [/ math]

Entonces, [matemáticas] y = -ln (u) [/ matemáticas] yu = x +1

Podemos diferenciar una función con respecto a la variable independiente [math] \ Rightarrow [/ math] y = f (u) puede diferenciarse con respecto a u y u = f (x) puede diferenciarse con respecto a x.

Entonces, [matemáticas] \ frac {dy} {du} \ = – \ frac1 {u} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ frac {du} {dx} \ = 1 [/ matemáticas]

De la regla de la cadena,

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} \ = \ frac {dy} {du} * \ frac {du} {dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} \ = – \ frac1 {u} * 1 [/ matemáticas]

Sustituyendo de nuevo el valor de u = x + 1.

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} \ = – \ frac1 {x + 1} [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] \ boxed {\ frac {dy} {dx} \ = \ frac {d} {dx} \ left (ln \ left (\ frac1 {x + 1} \ right) \ right) \ = – \ frac1 {x + 1}} [/ math]

¡Espero que ayude!

Answer 2

[matemáticas] y = \ log (\ dfrac {1} {x} +1) [/ matemáticas]

Deje [math] u = (x + 1) ^ {- 1} [/ math]
[matemáticas] \ dfrac {du} {dx} = – (x + 1) ^ {- 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {1} {u} · – (x + 1) ^ {- 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {1} {\ dfrac {1} {x + 1}} · – \ dfrac {1} {(x + 1) ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = – \ dfrac {1} {x + 1} [/ matemáticas]

EDITAR : OP ha cambiado la pregunta más claramente y me confundieron con una función incorrecta.

Answer 3

Es sencillo.

d / dx (log (1 / x + 1))

= – (x + 1) / (x + 1) * 2

= -1 / (x + 1)