Dado que [math] r [/ math] es un racional positivo, ¿cómo puedo encontrar todas [math] r [/ math] de modo que [math] r ^ {\ frac {1} {r-1}} [/ math ] es un número racional?

Answer 1

Mi consejo es que no hagas lo segundo. Simplemente use el primero para obtener [matemáticas] r ^ \ frac {1} {r-1} = \ left (\ frac {a} {b} \ right) ^ \ frac {1} {\ frac {a} {b } -1} = \ left (\ frac {a} {b} \ right) ^ \ frac {b} {ab} [/ math].

¿Para qué valores de [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] es racional esa expresión? Obviamente no puede tener [math] a = b \ implica r = 1 [/ math], pero por la forma de la expresión original ya lo sabía.

Otra forma de formular la pregunta es, ¿para qué valores de [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son ​​el numerador y el denominador ambos enteros del mismo signo? EDITAR: Otro caso a considerar es cuando ciertos valores de [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] podrían resultar en [matemática] a ^ {- k} = \ frac {1} {a ^ k } [/ math], [math] b ^ {- k} = \ frac {1} {b ^ k} [/ math] para algunos [math] k [/ math], en cuyo caso para los valores apropiados de [math ] k [/ math] (que depende de [math] a [/ math] y [math] b [/ math], no lo olvides) toda la expresión sigue siendo racional.