Cómo determinar la línea tangente de la curva [matemática] xy ^ 3 + 2y-2x = 1 [/ matemática] en el punto [matemática] (x, y) = (1,1) [/ matemática]

Answer 1

La forma en que lo haría es encontrar primero lo normal a la curva y obtener la tangente de eso.

Escribe [matemáticas] f (x, y) = xy ^ 3 + 2 y – 2 x – 1 [/ matemáticas]. Encontrar

[matemática] \ frac {\ parcial f} {\ parcial x} = y ^ 3 – 2 [/ matemática]

[matemática] \ frac {\ parcial f} {\ parcial y} = 3 xy ^ 2 + 2 [/ matemática]

En el punto (1,1) estos son -1 y 5. Entonces, un vector normal es

[matemáticas] \ left (\ frac {\ partial f} {\ partial x}, \ frac {\ partial f} {\ partial y} \ right) = (-1,5). [/ math]

Un vector tangente es este girado 90º, entonces (5,1) que tiene gradiente [matemática] m = \ frac15 [/ matemática].

Una ecuación vectorial para la línea tangente es [matemática] (x, y) = (1,1) + t (5,1) [/ matemática].

Para obtener la versión y = mx + c, conocemos [math] m = \ frac15 [/ math]. Sustituya el punto conocido [math] 1 = \ frac15 \ times 1 + c [/ math], entonces [math] c = \ frac45 [/ math] y la ecuación es [math] y = \ frac15 x + \ frac45. [ /matemáticas]

La ventaja de este método es que no necesita resolver ninguna ecuación, si tiene una curva en forma implícita y un punto conocido, siempre puede encontrar las derivadas parciales y obtener la normal. También se puede extender a superficies en 3D.

Answer 2

Tenemos: [matemáticas] xy ^ {3} + 2y-2x = 1 [/ matemáticas]; [matemáticas] (1, \ hspace {1 mm} 1) [/ matemáticas]

Para determinar la ecuación de la recta tangente a la curva, debemos diferenciar la ecuación para encontrar la pendiente.

Utilizaremos la diferenciación implícita para encontrar la pendiente en el punto dado [matemáticas] (1, \ hspace {1 mm} 1) [/ matemáticas]:

[matemática] \ Rightarrow \ dfrac {d} {dx} (xy ^ {3}) + \ dfrac {d} {dx} (2y) – \ dfrac {d} {dx} (2x) = \ dfrac {d} {dx} (1) [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow y ^ {3} + 3xy ^ {2} \ dfrac {dy} {dx} +2 \ dfrac {dy} {dx} -2 = 0 [/ math]

Recopilar términos que contengan [math] \ dfrac {dy} {dx} [/ math] y moverlos a un lado de la ecuación:

[matemática] \ Rightarrow \ dfrac {dy} {dx} (3xy ^ {2} +2) = 2-y ^ {3} [/ math]

[matemática] \ Rightarrow \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {2-y ^ {3}} {3xy ^ {2} +2} [/ math]

Sustituyendo nuestras coordenadas [matemáticas] (1, \ hspace {1 mm} 1) [/ matemáticas] en [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas]:

[matemática] \ Rightarrow \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {2- (1) ^ {3}} {3 (1) (1) ^ {2} +2} [/ math]

[matemáticas] \ hspace {12.5 mm} = \ dfrac {2-1} {3 + 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {12.5 mm} = \ dfrac {1} {5} [/ matemáticas]

Luego, ecuación de la recta tangente:

[matemática] \ Rightarrow y-1 = \ dfrac {1} {5} \ big (x-1 \ big) [/ math]

[math] \ Rightarrow y = \ dfrac {1} {5} x + \ dfrac {4} {5} [/ math]

Answer 3

La ecuación de una línea viene dada por
[matemática] y-y_0 = m (x-x_0). [/ matemática]
(Esta es la llamada “forma punto-pendiente “).

Se nos da nuestro punto [matemáticas] (x_0, y_0) = (1,1). [/ Matemáticas] La pendiente, por supuesto, viene dada por la derivada, que debemos calcular implícitamente.

Entonces, obtenemos:

[matemáticas] \ displaystyle y ^ 3 + 3xy ^ 2 \ cdot \ frac {dy} {dx} + 2 \ cdot \ frac {dy} {dx} – 2 = 0. [/ math]

Usando la sustitución de [matemáticas] (x, y) = (1,1): [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 1 + 3 \ cdot \ frac {dy} {dx} + 2 \ cdot \ frac {dy} {dx} – 2 = 0 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle 5 \ cdot \ frac {dy} {dx} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac 15 = m. [/ matemáticas]

Por lo tanto, obtenemos la ecuación

[matemáticas] \ displaystyle y – 1 = \ frac 15 (x – 1), [/ matemáticas]

o

[matemáticas] \ displaystyle y = \ frac 15 x + \ frac 45. [/ matemáticas]