Cómo integrar esto: [matemática] \ int \ frac {1} {(1+ \ sqrt {x}) (\ sqrt {(xx ^ 2)})} dx [/ math]

Answer 1

Pensemos notoriamente 😛

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} \ int \ dfrac {1} {(\ sqrt {x} +1) \ sqrt {xx ^ 2}} \, dx & = \ int \ dfrac {2} { (\ sqrt {x} +1) \ sqrt {1-x}} \ times \ dfrac {1} {2 \ sqrt {x}} \, dx \\\ text {Vamos a sustituir} \ sqrt {x} = t \\\ implica \ dfrac {1} {2 \ sqrt {x}} dx = dt \\ & = \ int \ dfrac {2} {(t + 1) \ sqrt {1-t ^ 2}} \, dt \\\ text {Ahora sustituto} t = \ sin \ theta \\\ implica dt = \ cos \ theta d \ theta \\ & = 2 \ int \ dfrac {\ cos \ theta} {(1+ \ sin \ theta ) \ sqrt {1- \ sin ^ 2 \ theta}} \, d \ theta \\ & = 2 \ int \ dfrac {\ cos \ theta} {(1+ \ sin \ theta) \ cos \ theta} \, d \ theta \\ & = 2 \ int \ dfrac {1} {1+ \ sin \ theta} \, d \ theta \\ & = 2 \ int \ dfrac {1} {1+ \ sin \ theta} \ times \ dfrac {1- \ sin \ theta} {1- \ sin \ theta} \, d \ theta \\ & = 2 \ int \ dfrac {1- \ sin \ theta} {1- \ sin ^ 2 \ theta} \, d \ theta \\ & = 2 \ int \ dfrac {1- \ sin \ theta} {\ cos ^ 2 \ theta} \, d \ theta \\ & = 2 \ int \ dfrac {1} {\ cos ^ 2 \ theta} \, d \ theta-2 \ int \ dfrac {\ sin \ theta} {\ cos ^ 2 \ theta} \, d \ theta \\ & = 2 \ int \ sec ^ 2 \ theta \, d \ theta-2 \ int \ tan \ theta \ sec \ theta \, d \ theta \\ & = 2 \ tan \ theta-2 \ sec \ theta + C \\\ text {Ahora es el momento de deshacer nuestras sustituciones … } \\ & = 2 \ left (\ dfrac {t} {\ sqrt {1-t ^ 2}} – \ dfrac {1} {\ sqrt {1-t ^ 2}} \ right) + C \\ & = \ boxed {2 \ left (\ dfrac {\ sqrt {x} -1} {\ sqrt {1-x}} \ right) + C} \ end {split} \ end { ecuación} \ tag * {} [/ math]

Resuelto 🙂

Answer 2

Sustituir [matemáticas] x = \ sin ^ 2 t [/ matemáticas]; [matemáticas] dx = 2 \ sen t \ cos t dt [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {xx ^ 2} = \ sin t \ cos t [/ matemáticas]

La integral requerida [matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ dfrac {2 \ sin t \ cos t dt} {(1+ \ sin t) \ sin t \ cos t} dt [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ dfrac {2 dt} {(1+ \ sin t)} dt [/ math]

Ahora multiplique tanto [matemática] N ^ r [/ matemática] como [matemática] D ^ r [/ matemática] por [matemática] (1- \ sin t) [/ matemática]

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ dfrac {2 (1- \ sin t) dt} {(1- \ sin t) (1+ \ sin t)} dt [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {2 (1- \ sin t)} {\ cos ^ 2 t} dt [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ int2 (\ sec ^ 2 t- \ sec t \ tan t) dt [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = 2 (\ tan t- \ sec t) + C [/ matemáticas]

Pero

[matemáticas] \ sin t = x; \ cos t = \ sqrt {1-x} [/ math]

[matemática] \ tan t = \ sqrt {\ dfrac {x} {1-x}} [/ matemática] y [matemática] \ sec t = \ sqrt {\ dfrac {1} {1-x}} [/ matemática ]

Por lo tanto, [matemáticas] \ boxed {I = 2 \ left (\ sqrt {\ dfrac {x} {1-x}} – \ sqrt {\ dfrac {1} {1-x}} \ right) + C} [/ matemáticas]