¿Existe una solución analítica para: [matemáticas] \ left (\ cos \ left (x \ right) \ right) ^ {2 \:} = \: 8 \ cdot \ frac {x ^ 2} {\ left (\ pi \ right) ^ 2} [/ math]?

Answer 1

Deje [math] \ displaystyle {f (x) = \ cos x, g (x) = \ frac {2 \ sqrt {2} x} {\ pi}} [/ math]. Por lo tanto, su ecuación original es equivalente a

[matemáticas] f (x) \ pm g (x) = 0 [/ matemáticas]

Primero consideremos [matemáticas] f (x) – g (x) = 0, x \ geq 0 [/ matemáticas].

Es cierto que [matemáticas] f (0) = 1, g (0) = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] f (\ pi) = -1, g (\ pi) = 2 \ sqrt {2} [ / math], y que [math] f [/ math] disminuye mientras que [math] g [/ math] aumenta en [math] [0, \ pi] [/ math]. Entonces la ecuación tiene y solo tiene una raíz real [matemática] x_0 [/ matemática] en [matemática] [0, \ pi] [/ matemática].

Luego, en el intervalo [matemática] (\ pi, + \ infty) [/ matemática], [matemática] f (x) \ leq 1 [/ matemática] y [matemática] g (x)> g (\ pi) = 2 \ sqrt {2}> 1 [/ matemáticas]. Entonces [math] \ forall x \ in (\ pi, + \ infty), f (x) – g (x) \ not = 0 [/ math].

Usando un enfoque similar (el trazado lo hace más simple), veremos que [math] f (x) – g (x) = 0 [/ math] no tiene una raíz real en [math] (- \ infty, 0] [ /matemáticas].

Y de manera similar, [math] f (x) + g (x) = 0 [/ math] tiene solo una raíz real [math] x = -x_0 [/ math].

Por lo tanto, la ecuación original solo se cumple en [matemáticas] x = \ pm x_0 [/ matemáticas]. Supongo que [math] \ displaystyle {x_0 = \ frac {\ pi} {4}} [/ math] y demuéstralo, y ya está. (Encontré esto [matemáticas] x_0 [/ matemáticas] a través del motor de conocimiento computacional).

Notas:

• El razonamiento es válido ya que [math] f (x), g (x) [/ math] son ​​continuas en su dominio. Por lo tanto, utilizamos el teorema del valor intermedio de las funciones continuas para determinar que hay una raíz en algún intervalo (cerrado). Luego usamos la monotonicidad (estricta) para decidir que solo hay una raíz en el intervalo.
• Deje [math] g_a (x) = \ frac {ax} {\ pi} [/ math] donde [math] a> 0 [/ math], luego generalmente [math] f (x) = g_a (x) [/ matemáticas] no tiene una solución analítica llamada. en su problema, [math] x_0 = \ frac {\ pi} {4} [/ math] es bastante especial para que [math] a = 2 \ sqrt {2} [/ math]. Si deja que [math] x_0 = \ frac {\ pi} {3} [/ math] tiene [math] a = \ frac {3} {2} [/ math]. Si deja que [math] x_0 = \ frac {\ pi} {6} [/ math] tiene [math] a = 3 \ sqrt {3} [/ math]. Pero para otros valores en radianes, es posible que deba usar enfoques numéricos para obtener una solución aproximada.
• Si [matemática] a [/ matemática] es demasiado pequeña, habrá múltiples puntos comunes en las gráficas de [matemática] y = f (x) [/ matemática] y [matemática] y = g_a (x) [/ matemática] , para que el problema se vuelva más complicado.

Answer 2

No existe una forma realmente fácil (de rutina) de encontrar las soluciones, pero gráficamente está claro que existen 2 soluciones simétricamente sobre el eje y ya que ambas funciones en ambos lados de la ecuación tienen esa simetría. No hay más soluciones ya que para x> pi / 2 absoluto, el lado derecho excede 2 (y cosx <= 1) y aumenta con respecto a x absoluto, por lo tanto, la parábola solo está contenida en el primer bucle de la función cos. Dentro del propio ciclo, en cada lado del eje y, las dos funciones tienen pendientes de signo opuesto, por lo que solo pueden cruzarse una vez. Tenga en cuenta que dado que para valores agradables de cos (x) necesita x = t (pi) para t racional, y por lo tanto el lado derecho se convierte en 8t ^ 2. Por lo tanto, necesita un valor racional para cos, por lo que podría probar algunos ángulos agradables y descubrir que pi / 4 funciona y que solo hay dos soluciones que ha terminado (ya que -pi / 4 funciona por simetría).