La respuesta de Austin Wu es correcta, pero podría ser un poco difícil de entender para alguien que aún no está familiarizado con el aspecto de [math] z \ mapsto \ frac {1} {z} [/ math]. Resolveremos esto ahora.
Aquí hay una foto del plano complejo:
Aquí hay una imagen de este mismo plano después de haber aplicado [math] z \ mapsto \ frac {1} {z} [/ math]
¿Lo que ha sucedido? Bueno, una cosa importante a tener en cuenta es que [math] 0 \ mapsto \ frac {1} {0} = \ infty [/ math] y [math] \ infty \ mapsto \ frac {1} {\ infty} = 0 [/ math], por lo que este mapa está invirtiendo el plano complejo de alguna manera.
¿Por qué está invirtiendo? Bueno, [matemáticas] e ^ {i \ theta} \ mapsto \ frac {1} {e ^ {i \ theta}} = e ^ {- i \ theta} [/ math], lo que significa que el círculo unitario se mapea de vuelta al círculo unitario (aunque reflejado a través del eje x).
- Cómo derivar la fórmula de la derivada total: es decir, [matemática] \ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} t} = \ frac {\ partial u} {\ partial x}. \ Frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} + \ frac {\ partial u} {\ partial y} \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t} [/ math]
- Cómo determinar la línea tangente de la curva [matemática] xy ^ 3 + 2y-2x = 1 [/ matemática] en el punto [matemática] (x, y) = (1,1) [/ matemática]
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De manera más general, [math] re ^ {i \ theta} \ mapsto \ frac {1} {r} e ^ {- i \ theta} [/ math]. Por lo tanto, un punto que está a una distancia [matemática] r [/ matemática] del origen se asignará a una distancia de punto [matemática] \ frac {1} {r} [/ matemática] del origen, y se reflejará a través del eje x.
Entonces, lo que está sucediendo es que el exterior del círculo unitario se refleja dentro del círculo, y el interior del círculo se refleja afuera. Esto se conoce como ‘inversión circular’.
Las inversiones circulares son bastante agradables: conservan los ángulos y enviarán líneas y círculos a líneas y círculos (aunque las líneas pueden convertirse en círculos y los círculos pueden convertirse en líneas).
Ahora, más generalmente, [matemáticas] \ frac {1} {cz + d} [/ matemáticas], también es una inversión circular, pero el círculo en cuestión está centrado en [matemáticas] \ frac {d} {c} [/ matemática], y tiene radio [matemática] \ frac {1} {\ sqrt {| c |}} [/ matemática].