El producto de A x B x C x… x I x J (10 números) es par. ¿Es la afirmación (A – B) (B – C) … (I – J) (J – K) es incluso, DEFINITIVAMENTE verdadera?

No.

Deje que [matemática] A, C, E, G [/ matemática] y [matemática] I [/ matemática] sea cualquier número par de su elección y deje que las otras letras [matemática] B, D, F, H [/ matemática] y [matemática] J [/ matemática] sea cualquier número impar de su elección. El producto de las letras [matemática] ABCD \ cdots J [/ matemática] será par porque el único caso en que un producto es impar es cuando todos sus componentes son impares (y dado que elegimos la mitad de ellos como par, el producto incluso.)

Sin embargo, la diferencia entre un número impar y un número par siempre es impar, y dado que elegimos [matemáticas] A, B, C, \ ldots, J [/ matemáticas] para ser alternativamente pares e impares, el producto [matemáticas] (AB ) (BC) (CD) \ cdots (IJ) [/ math] contendrá solo números impares. Por lo tanto, el producto [math] (AB) (BC) (CD) \ cdots (IJ) [/ math] es impar aunque el producto [math] ABC \ cdots J [/ math] sea par.

No. Primero, supongo que no debería haber [matemáticas] K [/ matemáticas].

Entonces, si [matemáticas] A, B, …, J [/ matemáticas] son ​​todas tales que todas las diferencias [matemáticas] (A – B), (B – C), .., (I – J) [/ matemáticas ] son ​​todos impares, y al menos uno de los [matemáticos] A, B, .. J [/ matemático] es par, la declaración anterior no se podrá probar.

Entonces, si [matemática] A, C, E, G, I [/ matemática] son ​​pares y [matemática] B, D, F, H, J [/ matemática] son ​​impares, el producto de 10 números será par, pero todas las diferencias serán negativas y su producto será extraño.

En mi opinión, no es necesario.
Dado que el producto de 10 números diferentes es un número par, significa que al menos uno de ellos debería ser par.
Sea I un número par. Ahora considere J. Hay posibilidades siguientes.
(1) J es un número impar, por lo que IJ es impar.
(2) J es un número par, entonces IJ es par.