El centro consiste en la identidad y [matemáticas] r ^ {5} [/ matemáticas], donde r es una rotación [matemáticas] \ frac {1} {10} [/ matemáticas].
Z (D10) = {e, [matemáticas] r ^ {5} [/ matemáticas])
Esto se generaliza a Z (Dn) = {e, [matemáticas] r ^ {n / 2} [/ matemáticas]) para n es par. Podemos imaginar esto a través de un grupo diédrico par más pequeño, como D4 que se muestra a continuación. Los elementos en el Centro conmutan con todos los demás elementos del grupo. Dado que la orientación de las rotaciones se invierte de alguna manera después de un giro (llámelo f), f * [matemáticas] r ^ {a} [/ matemáticas] = [matemáticas] r ^ {- a} [/ matemáticas] * f. Si queremos que esto conmute f * [matemática] r ^ {a} [/ matemática] = [matemática] r ^ {a} [/ matemática] * f solo se satisface con a = {0, n / 2}. Esto termina trabajando en el g * [matemático] r ^ {a} [/ matemático] = [matemático] r ^ {a} [/ matemático] * g más generalizado como se puede razonar mirando el diagrama a continuación.
** Actualización: para diez elementos: creo que hubo cierta confusión entre la convención de nomenclatura. Para grupos de diédricas impares (voy a llamar a su objeto D5) es solo la identidad Z (D5) = {e} ya que f * [matemáticas] r ^ {a} [/ matemáticas] = [matemáticas] r ^ { a} [/ math] * f no está satisfecho con ningún elemento que no sea e.
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