¿Cuál es la forma correcta de explicar exponentes? Educación te da un futuro mejor

Para comenzar, evite 0 como base.

La explicación o modelo de multiplicación repetida puede extenderse a exponentes fraccionarios. Por ejemplo, [matemática] 2 ^ {1/10} [/ matemática] es la décima raíz real positiva de 2, lo que significa que multiplicarla por sí misma diez veces (elevarla a la décima potencia) produce 2. Y [matemática] 2 ^ {3/10} = \ left (2 ^ {1/10} \ right) ^ 3 [/ math]. La explicación se vuelve incómoda con exponentes irracionales, algo así como [matemática] 2 ^ {\ sqrt {2}} [/ matemática], y más aún cuando considera la función [matemática] x \ mapsto2 ^ x [/ matemática] para cualquier número real [matemática] x [/ matemática]. Tienes que tomar límites de potencias con exponentes racionales,
[matemáticas] 2 ^ {14/10}, 2 ^ {141/100}, 2 ^ {1414/1000}, \ ldots [/ matemáticas]
e imagine cada término como una multiplicación repetida de una pequeña potencia como [matemática] 2 ^ {1/1000} [/ matemática], y pruebe o dé por sentado que todo funciona como se espera a pesar del horrible desastre que parece tener solo uno tanto poder y, a pesar de eso, hay poca o ninguna ayuda visual para ver lo que está sucediendo. Sin embargo, la tradición pedagógica actual promueve esta visión (tal vez indicada como tentativa) a través de la primera parte del cálculo.

Pero esa no es la forma en que los poderes con exponentes reales se definen finalmente en matemáticas y no cómo se calculan en las computadoras (por ejemplo, Google).
Encontrarás que
[matemáticas] a ^ p = \ ln ^ {- 1} (p \ ln a) = e ^ {\ p \ ln a} [/ matemáticas]
es la definición “pro”, para [matemática] a> 0 [/ matemática] y [matemática] p [/ matemática] cualquier número real. (Adelante, escriba 2 ^ pi y e ^ (pi * ln (2 )) en Google.) Supongo que la razón por la que esto no se enseña en las matemáticas de precálculo escolar (a pesar de que Felix Klein lo sugirió con fuerza en 1908 en Matemáticas elementales desde un punto de vista avanzado, aritmética, álgebra, análisis ) es que uno debe entender de alguna manera el “[matemática] \ ln a [/ matemática]”, que parece requerir cálculo. No lo hace. (En realidad, los libros de texto de cálculo tradicionales tienden a oscurecer, o al menos no desarrollar, la idea fundamental, que explicaré).

La cantidad [math] \ ln a [/ math] es una medida del número positivo [math] a [/ math] considerado como una relación , o como una transformación de escala. Esto es análogo a [math] \ arctan (t) [/ math] es la medida de un ángulo cuya tangente es [math] t [/ math] (considerado como determinado a partir de un par real de rayos, que determina una rotación ) (De hecho, la parte imaginaria del logaritmo complejo de un número complejo [matemática] z [/ matemática] es exactamente la medida del ángulo entre los rayos que se originan de 0 a 1 y [matemática] z [/ matemática], en radianes .) La medida se construye de modo que la suma de las medidas corresponda al producto de los números subyacentes (o transformaciones). Últimamente, pensé que podría ayudar a los estudiantes si asocian unidades a una medida de una relación, de la misma manera que asociamos unidades a medidas de ángulos (grados, radianes u otros). Los ingenieros lo hacen. Dirían que la medida de 2 es [matemáticas] \ ln (2) \ aproximadamente 0.69 [/ matemáticas] Neper, o incluso lo llaman 69 centiNepers. El número [math] e [/ math] sería de 100 centiNepers. Antes del cálculo, puede trabajar a fondo con esta idea de la medida de un número positivo, sin conocer los detalles de cómo se calcula. Está justo en su calculadora o Google, y se comporta tal como se anuncia. Además, en una escala logarítmica, la medida de un número es proporcional al segmento dirigido del 1 al número. Por lo tanto, es muy fácil (ocho grados) visualizar la medida de un número. Por cierto, los logaritmos son proporciones de estas medidas: [matemáticas] \ log _ba = \ ln a / \ ln b [/ matemáticas], y esto también puede ilustrarse claramente en una escala logarítmica.

Hasta ahora, estoy diciendo que la forma correcta de explicar los exponentes, que siempre funciona y siempre tiene sentido y es la forma en que realmente se hace y es claramente mucho más simple y más fundamental que el negocio tradicional de los límites de los exponentes racionales, es primero comprenda que puede medir proporciones esencialmente (de manera idéntica, si ingresa al complejo) de la misma manera que puede medir ángulos. (Klein dijo que es “igual en rigor que cualquier otro método, mientras que supera a todos los demás … en simplicidad y claridad”.) La forma natural aceptada de hacer esto es con la función [matemáticas] \ ln [/ matemáticas], que es decir, medir números como proporciones como transformaciones en “Nepers”, tal como la forma natural aceptada de medir ángulos es en radianes. (Un análogo de medir ángulos en grados sería medir relaciones con, por ejemplo, [math] \ log _ {10 ^ {1/10}} (a) = 10 \ log _ {10} (a) [/ math]. en este caso, las unidades de medida se llaman decibelios. El número 100 mide 20 decibelios, análogo al ángulo recto que mide 180 grados. El número 2 resulta medir aproximadamente 3 decibelios).

Un poder arbitrario de [math] a [/ math] se encuentra simplemente escalando la medida de [math] a [/ math] y encontrando el número subyacente resultante. Eso es lo que hace [math] \ ln ^ {- 1} (Y) [/ math]: obtiene el número cuya medida es [math] Y [/ math]. Así
[matemáticas] a ^ p = \ ln ^ {- 1} (p \ ln a) [/ matemáticas].
No lo verá así, excepto quizás justo después de la definición de [matemáticas] \ ln x [/ matemáticas] en un libro de cálculo. En cambio, verá, como arriba,
[matemáticas] a ^ p = e ^ {p \ ln a} [/ matemáticas].
Esto se debe a que el número que se encuentra que tiene una unidad de medida se llama [math] e [/ math], por lo que [math] \ ln e = 1 [/ math] por definición. Entonces
[matemáticas] e ^ Q = \ ln ^ {- 1} (Q \ ln e) = \ ln ^ {- 1} (Q) [/ matemáticas]
permitiendo que uno reemplace cualquier ocurrencia de [math] \ ln ^ {- 1} (Q) [/ math] con [math] e ^ Q [/ math]. Esto puede interpretarse como el número cuya medida es [matemática] Q [/ matemática].

He hablado con ingenieros de toda la vida que solo tienen un vago sentimiento de lo que incluso [matemáticas] 2 ^ {3/4} [/ matemáticas] es conceptualmente, y mucho menos [matemáticas] 2 ^ {\ sqrt {2}} [/ matemáticas] . Animaría a todos a tomar en serio el hecho de que un exponente es la escala de la medida de un número. Escala la medida de 2 a [matemáticas] 3/4 [/ matemáticas] y tienes [matemáticas] 2 ^ {3/4} [/ matemáticas].

Ahora [math] 0 ^ 0 [/ math] está inicialmente indefinido, ya que [math] 0 [/ math] (en la base) no es un número que tenga una medida. Esto sigue siendo cierto, incluso cuando ingresa números complejos, donde [matemática] -1 [/ matemática] (o mejor, la rotación positiva de media vuelta) tiene una medida, que resulta ser [matemática] \ pi i [/matemáticas]. Dejaré que otros definan [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] en cualquier circunstancia que consideren interesante. El problema con la “exponenciación como multiplicación repetida” surge más seriamente en otros lugares.