¿Cómo se puede encontrar el rango de [matemáticas] y = \ frac {x ^ 2 + 4} {x ^ 2 – 4} [/ matemáticas]? ¿O cómo se resuelve para x?

Hay muchas formas de encontrar el rango de una función como [math] f (x) = \ dfrac {x ^ 2 + 4} {x ^ 2-4} [/ math]. Una es resolver [matemática] x [/ matemática] en términos de [matemática] y [/ matemática], y el rango de [matemática] f (x) [/ matemática] será el de [matemática] y [/ matemática ] para lo cual puedes resolver [math] x [/ math].

Vamos a hacer eso. Multiplica ambos lados de la ecuación

[matemáticas] y = \ dfrac {x ^ 2 + 4} {x ^ 2-4} [/ matemáticas]

por [matemáticas] x ^ 2-4 [/ matemáticas] para obtener

[matemáticas] y (x ^ 2-4) = x ^ 2 + 4 [/ matemáticas]

Por lo tanto

[matemáticas] (y-1) x ^ 2 = 4y + 4 [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] x ^ 2 = \ dfrac {4 (y + 1)} {y-1} [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] \ displaystyle x = \ pm2 \ sqrt {\ dfrac {y + 1} {y-1}} [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que cuando [math] \ dfrac {y + 1} {y-1} [/ math] es negativo, no hay soluciones reales. Eso sucede cuando [matemática] -1 [/ matemática] [matemática] <[/ matemática] [matemática] y [/ matemática] [matemática] <1 [/ matemática]. Para [math] y \ leq-1 [/ math] hay soluciones. Además, cuando [math] y = 1 [/ math] no hay soluciones. Ahora conocemos el rango de [math] f (x) [/ math]. Es [matemáticas] (- \ infty, -1] \ cup (1, \ infty) [/ math].

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No lo solicitó, pero aquí está la estructura de y (x).

Los polos están en {+ 2, -2}. Los ceros son imaginarios en {i, -i}. En x va a menos o más infinito y se convierte en uno. En los polos, la cantidad es ilimitada, a medida que nos acercamos a x = 2 desde la derecha obtenemos un infinito positivo, mientras nos acercamos desde la izquierda obtenemos un infinito negativo. Para el polo negativo las cosas se invierten. Esto concuerda con la observación de que no hay ceros reales, la función nunca cambia de signo, excepto en los polos. En cero es -4.
Así que aquí está lo que parece:

para x = [-infinito, -2] y comienza en la unidad y crece a positivo ilimitado

para x = [-2,0] y comienza en negativo sin límites cayendo a -1 en cero

la función es simétrica respecto a cero

Allan Steinhardt

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