¿Qué es E (X * CDF (X)) donde X es Normal Normal?

Answer 1

Esto se puede hacer utilizando la integración por partes. Llamemos al PDF de distribución normal como [math] p (x) = \ dfrac {1} {N} \ exp (\ frac {-x ^ 2} {2}) [/ math] y su CDF como [math] P (x) [/ matemáticas]. [math] N = \ dfrac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} [/ math] es la constante de normalización para la distribución normal estándar.

Entonces necesitas encontrar

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {p (x) x P (x) dx} [/ math]

Tenga en cuenta que la integración de [math] xp (x) [/ math] es fácil; por lo tanto, elegimos eso como la segunda función en nuestra integración por partes, y [math] P (x) [/ math] como la primera parte. Esto da:

[matemáticas] I = \ displaystyle \ left [P (x) \ left (\ int xp (x) dx \ right) \ right] _ {- \ infty} ^ {\ infty} – \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {p (x) \ left (\ int xp (x) dx \ right) dx} [/ math]

La integral indefinida de [math] xp (x) [/ math] es [math] – \ dfrac {1} {N} \ exp (\ frac {-x ^ 2} {2}) [/ math].

Conectarlo en la ecuación anterior te da

Ahora, el primer término se puede evaluar directamente mediante la inserción de los valores: [math] \ infty [/ math] y [math] \ infty [/ math]. Eso da cero. Para el segundo término, conecte la expresión para [math] p (x) [/ math] y use la substutición [math] y = \ sqrt {2} x [/ math] para obtener

[matemáticas] I = \ dfrac {1} {\ sqrt {2} N ^ 2} \ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ exp \ left (\ frac {-y ^ 2} {2 } \ right) dy} [/ math]

Sabemos que la integral anterior es igual a [matemáticas] N [/ matemáticas]. Por lo tanto,

[matemáticas] I = \ dfrac {1} {\ sqrt {2} N} = \ dfrac {0.5} {\ sqrt {\ pi}} \ aprox 0.2821 [/ matemáticas]