¿Alguien puede ayudarme a encontrar un argumento válido para demostrar que [math] 0.999 \ ldots \ neq 1 [/ math]?

Answer 1

OK, te dejaré en secreto.

0.99999 … = 1 se considera mejor no como una cuestión de hecho, sino de terminología.

Si pregunta: “¿La secuencia 0.9, 0.99, 0.999 se acerca a 1 y no hay otro número cuanto más se prolonga?” La respuesta es definitivamente sí”. Puede buscar una prueba, pero realmente, la mayoría de las personas lo encuentran obvio. Ni siquiera es muy misterioso, si dices “cuanto más dura, más se acerca a 1”. Eso es todo lo que significa infinito, no tiene que significar que existe de manera física.

Entonces, si usa números decimales, debe preguntarse, “¿hay alguna forma de representar un tercio?” Y puede elegir simplemente decir “no”. Pero si elige decir “0.333 …” es una abreviatura de una cadena de tres que dura todo el tiempo que desee, puede agregarlo y multiplicarlo como cualquier fracción, y puede probar que obtiene las mismas respuestas que obtendría si agrega o multiplica un tercio. Eso es ÚTIL, y por lo tanto, las personas escriben “0.333 …” cuando quieren decir un tercero. Pero si haces eso, solo funciona si 0.999 … es otro nombre para 1.

Hay otras formas de hacer matemáticas. Puede inventar números adicionales que sean mayores que cualquier fracción pero menores que 1. Y si solo hay uno de esos números, puede elegir llamarlo “0.999999”. Y eso a veces es útil en matemáticas avanzadas. Pero es mucho menos útil para la medición diaria, en parte porque no se puede medir la diferencia entre ese número y 1 en pulgadas, y en parte porque muchas reglas de aritmética “como una dividida por tres por tres igual a una” no funcionan. Entonces la mayoría de la gente no hace eso.

Answer 2

Lo que los matemáticos quieren decir con la notación [matemáticas] 0.999 … = 1 [/ matemáticas] es que la secuencia [matemáticas] \ frac {9} {10}, \ frac {9} {10} + \ frac {9} {100} , \ frac {9} {10} + \ frac {9} {100} + \ frac {9} {1000},…, \ Sigma_ {k = 1} ^ {n} \ frac {9} {10 ^ k } [/ math] se acercará lo más que puedas a 1 sin pasar de 1.

Lo que dicen es que si [math] a_n = \ Sigma_ {k = 1} ^ {n} \ frac {9} {10 ^ k} [/ math], y dejamos [math] \ epsilon = 1 – a_n [/ math], entonces, para cualquier número natural [math] n> 0 [/ math], [math] \ epsilon [/ math] será mayor que 0. Pero al mismo tiempo, dicen que para cualquier [ math] 0 <\ epsilon <1 - a_1 [/ math], existe un [math] a_n [/ math] tal que [math] 1 - a_n <\ epsilon [/ math]. En este caso, 1 se llama límite y se denota [math] \ lim_ {n \ to \ infty} \ Sigma_ {k = 1} ^ {n} \ frac {9} {10 ^ k} [/ math].

Así que esto es tan formal como un matemático puede obtener sobre el enunciado [matemáticas] 0.999 … = 1 [/ matemáticas]. En otras palabras, en realidad estaría de acuerdo en que [matemáticas] 0.999 … \ neq 1 [/ matemáticas], a menos que definamos [matemáticas] 0.999 … [/ matemáticas] que significa [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} \ Sigma_ {k = 1} ^ {n} \ frac {9} {10 ^ k} [/ math], que es lo que la mayoría de los matemáticos quieren decir.

Si usted toma esto para significar que las secuencias infinitas pueden existir realmente o que solo existen los límites de las secuencias finitas, es una cuestión de filosofía matemática. PERO, si afirmas que estas secuencias no pueden ser realmente infinitas, entonces probablemente deberías afirmar que Dios tampoco puede ser infinito, si Dios existe en absoluto. (No pude evitar notar tu declaración sobre Dios en tu descripción).

Answer 3

Intente expresar [matemática] 0.2 \ overline {9} [/ matemática] y [matemática] 0.3 [/ matemática] en una base que no sea decimal (por ejemplo, binaria). Adelante, esperaré a que lo pruebes.

Bueno. Según lo que descubrió haciendo ese pequeño ejercicio, este es el trato:

• Un número real es una construcción matemática formal, basada en un conjunto de axiomas. Los detalles no son importantes en este momento, pero debe comprender que los números reales son ideas abstractas definidas por las reglas que siguen.
• Un número decimal es un conjunto de símbolos entre 0 y 9, posiblemente con un punto decimal, tal vez con un signo negativo opcional o una notación para especificar que una parte fraccional es recurrente. Nuevamente, los detalles no son importantes. Lo importante es que los números son notación .

Hay una conexión entre números y números, pero no son lo mismo. Los números no están definidos por cómo están escritos. No hay nada especial sobre decimal (base 10); eso es solo un artefacto de la cantidad de dedos que tenemos. Los números no deberían depender de este detalle.

Lo que [matemática] 0. \ overline {9} = 1 [/ matemática] realmente significa es que hay dos números que representan el mismo número.

Answer 4

Lo primero realmente maravilloso y sorprendente de las matemáticas es que no hay lugar para la opinión y no hay necesidad de desacuerdo. Si usted y yo no estamos de acuerdo, entonces al menos uno de nosotros está equivocado.

La segunda cosa realmente maravillosa y sorprendente de las matemáticas es que, con suficiente tiempo y esfuerzo, generalmente podemos descubrir cuál de las partes en desacuerdo es incorrecta.

Para hacerlo, debemos comenzar con las definiciones y axiomas relevantes. Una vez que los entendemos, podemos explorar los teoremas que se derivan de los axiomas.

No puede saber por qué 0.999 … = 1 sin comprender la construcción de los números reales. Puede pensar que sabe qué son los números reales, pero resulta que son más complicados de definir de lo que podría pensar.

Resulta que hay algunas formas diferentes pero equivalentes de construir los números reales. Hay algunos detalles para precisar, pero una forma de definir un número real es (aproximadamente) que es la clase de equivalencia de todas las secuencias (racionales) de Cauchy que convergen en él. En otras palabras, estas secuencias:

1, 1/2, 1/4, 1/8, …

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,…

1, -1/2, 1/4, -1/8, …

0, 0, 0, 0, …

e infinitamente muchos otros convergen al mismo número, cero. En un sentido real, eso es lo que es el número real cero: el conjunto de secuencias que convergen a él. Resulta que coincide de todas las formas útiles con el cero entero y el cero racional por algunas razones realmente buenas, pero no dejes que eso te distraiga. La misma idea se aplica a todos los reales, incluso a los que no son racionales.

Pi es el conjunto de todas las secuencias que convergen a la relación de la circunferencia de un círculo a su diámetro. Aquí hay algunas secuencias en este conjunto:

3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…

[matemáticas] \ sqrt {6 (1/1 ^ 2)}, [/ matemáticas] [matemáticas] \ sqrt {6 (1/1 ^ 2 + 1/2 ^ 2)}, [/ matemáticas] [matemáticas] \ sqrt {6 (1/1 ^ 2 + 1/2 ^ 2 + 1/3 ^ 2)},… [/ math]

Perímetro de un triángulo equilátero con circunradio 1/2, Perímetro de un cuadrado con circunradius 1/2, Perímetro de un pentágono regular con circumradius 1/2, Perímetro de un hexágono regular con circumradius 1/2, …

E infinitamente muchas otras secuencias están en el conjunto, pi.

Entonces, una vez que comprenda la definición de un número real (más o menos), deberíamos estar de acuerdo en que 0.999 … = 1. Debe ser cierto porque las secuencias:

0.9, 0.99, 0.999, 0.9999,…

Y

1, 1, 1, 1, …

Convergir al mismo valor.

Answer 5

La razón por la cual la mayoría de las personas (incluido yo mismo) cuestiona este tipo de cosas a primera vista suele ser la misma. Si vemos un número como 0.x, no importa qué sea ‘x’, asumimos automáticamente que es menor que uno, porque todos los números 1 y superiores deben ser valorados en al menos 1.0, y estaría en lo correcto al pensar ese.

Lo que estamos tratando aquí es un escenario abstracto en el que hay un número con una cadena infinita de nueves decimales; 0.9999999999 … y así hasta el infinito. Hay una cosa que lo hace diferente al problema anterior: el concepto de Infinito. Cada vez que tenemos en cuenta el infinito, nuestras ideas clásicas de las matemáticas se rompen. Las cosas intuitivas dejan de ser intuitivas, y puede obtener respuestas muy extrañas a problemas aparentemente normales como ‘¿es 0.x igual a 1?’.

El hecho (probado usando matemáticas contraintuitivas, pero no obstante probado) que 0.99 … Igual a 1 es otra razón por la cual las matemáticas no siempre (hasta donde sabemos) se aplican a nuestro universo. No puedes tener un objeto infinitamente complejo o un concepto físico en un universo con límites claros. Sin embargo, estos conceptos matemáticos son suficientes (léase: suficientemente buenos) como para que cualquier redondeo o desviación al corregirlos en el universo real sea insignificante. Por ejemplo, pi es otro número con una cadena infinita de decimales, que se vuelve aún más contraintuitivo al repetir sin ningún orden predecible, para siempre. Podemos usar pi para calcular la circunferencia de un círculo al construir una casa o algo similar, y aunque a simple vista parece coincidir perfectamente, el universo tiene un ‘tamaño más pequeño’ (longitud de planck) y pi no. Nunca será lo mismo.

Los matemáticos manejan un conjunto de reglas que requieren mucha abstracción y, si bien están estrechamente vinculados con el universo en el que vivimos, se desvían de varias maneras.

Entonces, desde el punto de vista de los matemáticos: “Sí, por supuesto, 0.99 … es igual a 1, porque … (Inserte una de las otras excelentes respuestas aquí)

Pero desde el punto de vista del físico: “¿Qué? ¡No, eso es estúpido!”

O desde el punto de vista de un ingeniero: “Pi = 3, g = 10, y cualquier cosa que no nos guste = 0”

Answer 6

Usando los axiomas estándar de la aritmética y los números reales puedes probar [matemáticas] 0.999…. = 1 [/ matemáticas] como han mostrado otras respuestas. Para ser sincero, a nadie le importan tus opiniones sobre Dios o el infinito cuando se habla de una prueba matemática: no es relevante. Las matemáticas se basan en la lógica y en un conjunto particular de axiomas, no en opiniones.

Answer 7

Bueno, tiene razón en que si rechazamos conjuntos infinitos de matemáticas, lo que puede hacer, si desea estudiar un sistema matemático de este tipo, tiene razón. Ni siquiera hay números reales en absoluto.

En matemática estándar, .999 … = 1 es un teorema y eso nunca va a cambiar.

Pero definitivamente puedes preparar un sistema matemático en el que no sea cierto. Todo depende de tu sistema axiomático. De hecho, mi sistema de axiomas favorito es un sistema de axiomas inconsistente. Ese es un sistema de lógica en el que todo es verdad. Entonces podrías decir .999 … = 6 si quieres. O 3. Está todo bien.

No hay “verdad” en esto, son solo matemáticas. La matemática es abstracta y procede de axiomas a teoremas. No hay números reales en el mundo físico real, son solo una abstracción matemática.

Answer 8

Si no está de acuerdo con [matemáticas] 0.99999… = 1 [/ matemáticas], entonces también debe estar en desacuerdo con lo siguiente:

[matemáticas] 0.111111… = 1/9 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0.22222… = 2/9 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0.333333… = 1/3 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0.45454545… = 5/11 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0.142857142857… = 1/7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0.1666666… = 1/6 [/ matemáticas]

etcétera etcétera.

Entonces, pregúntese: ¿estoy de acuerdo con las declaraciones anteriores ?

Si lo hace, ¿por qué las declaraciones anteriores son aceptables y [matemáticas] 0.99999 … = 1 [/ matemáticas] no aceptables? ¿Qué le impide estar de acuerdo con [matemáticas] 0.999999 … = 1 [/ matemáticas] que no le impide estar de acuerdo con [matemáticas] 0.33333 … = 1/3 [/ matemáticas], por ejemplo? Porque, realmente, no hay nada diferente entre el argumento de que [matemáticas] 0.33333 … = 1/3 [/ matemáticas] y el argumento de que [matemáticas] 0.99999 … = 1 [/ matemáticas].

Si, por otro lado, no está de acuerdo con las declaraciones anteriores también, entonces es un ‘rebelde de las matemáticas’, que no puede estar de acuerdo con la respuesta de una calculadora. Si no está de acuerdo con la representación equivalente de una calculadora de [matemática] 1/3 [/ matemática] como [matemática] 0.33333… [/ matemática], entonces usted está diciendo ‘para jugar con las matemáticas, quiero hacer mis propias matemáticas ‘. En ese caso, no hay nada que yo, o cualquier otra persona, pueda decir sobre este asunto que lo convenza de la verdad de las declaraciones anteriores.