Cómo demostrar que para todos los números reales x, si x ^ 2 es irracional, entonces x es irracional, usando contradicción y contraposición

Answer 1

Bien, entonces queremos demostrar que

[matemática] \ forall x \ in [/ math] [math] \ mathbb {R}: \ left (x ^ 2 \ notin \ mathbb {Q} \ right) \ Rightarrow \ left (x \ notin \ mathbb {Q} \ right) [/ math].

Usando el método de prueba por contradicción, tratemos de demostrar que

[matemáticas] \ existe x \ in \ mathbb {R}: \ left (x ^ 2 \ notin \ mathbb {Q} \ right) \ wedge \ left (x \ in \ mathbb {Q} \ right) [/ math] .

Si [math] x [/ math] es racional, entonces podemos representarlo de la siguiente manera:

[math] x = \ frac {p} {q}, p \ in \ mathbb {Z}, q \ in \ mathbb {N} [/ math].

Elevemos [math] x [/ math] a la segunda potencia:

[matemáticas] x ^ 2 = \ left (\ frac {p} {q} \ right) ^ 2 = \ frac {p ^ 2} {q ^ 2} [/ math].

Pero [math] p ^ 2 [/ math] es un número entero y [math] q ^ 2 [/ math] es natural:

[matemática] m = p ^ 2 \ in \ mathbb {Z}, n = q ^ 2 \ in \ mathbb {N} [/ math].

Entonces podemos decir que

[matemáticas] x ^ 2 = \ frac {m} {n}, m \ in \ mathbb {Z}, q \ in \ mathbb {N}, [/ math]

lo que significa que [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] es racional por definición:

[matemáticas] x ^ 2 \ en \ mathbb {Q} [/ matemáticas].

Esta afirmación contradice nuestra suposición de que [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] es irracional. Por lo tanto, tal [math] x [/ math] no existe.

Answer 2

Deje x ser un número real. Queremos demostrar por contradicción que si [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] es irracional, entonces x es irracional.

Prueba: suponga la negación de esta afirmación: [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] es irracional yx es racional.

(Tenga en cuenta que la negación de una implicación, [math] P \ rightarrow Q [/ math] es [math] P \ wedge \ sim Q [/ math]).

Pero si x es racional, entonces x puede escribirse como [matemáticas] x = \ frac {b} {c} [/ matemáticas] donde b y c son enteros.

Entonces [matemáticas] x ^ 2 = \ frac {b ^ 2} {c ^ 2} [/ matemáticas] que también es racional.

Esto contradice la afirmación de que [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] es irracional.

Answer 3

Si [math] x [/ math] es racional, puede escribirse como la razón de dos enteros [math] p [/ math] y [math] q [/ math]. O:

[matemáticas] x = \ dfrac {p} {q} \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Cuadrando ambos lados:

[matemáticas] x ^ 2 = \ dfrac {p ^ 2} {q ^ 2} \ tag * {} [/ matemáticas]

Pero [matemática] x ^ 2 [/ matemática] es irracional, mientras que esto implica [matemática] x ^ 2 [/ matemática] es racional, por lo tanto, si [matemática] x ^ 2 [/ matemática] es irracional, entonces [matemática] x [ / math] es racional.

Answer 4

Si X es racional (no irracional), entonces X puede expresarse como una relación de A a B (donde A y B son enteros). X al cuadrado es entonces la razón de A al cuadrado a B al cuadrado, contradiciendo la premisa de que X al cuadrado es irracional. Esto prueba la afirmación de que X es irracional indirectamente al probar la contraposición (que todo número no irracional no puede ser X).

Answer 5

El contrapositivo de

Si [matemática] x ^ 2 [/ matemática] es irracional, entonces [matemática] x [/ matemática] es irracional

es:

Si [math] x [/ math] es racional, entonces [math] x ^ 2 [/ math] es racional.

Para demostrarlo, lo haría directamente, no por contradicción. Usar contrapositivo y contradicción sería excesivo, creo que tenían la intención de usar uno u otro.

Entonces, si [math] x = \ frac {n} {m} [/ math] donde [math] n [/ math] y [math] m [/ math] son ​​enteros, entonces [math] n ^ 2 [/ math ] y [math] m ^ 2 [/ math] también son enteros y [math] x ^ 2 = \ frac {n ^ 2} {m ^ 2} [/ math] es racional.

Answer 6

Por definición: “Los números irracionales no se pueden escribir como una fracción”
x ^ x = x * x
“Número irracional, Tiempos irracionales … = Número irracional”
ps No es nada que “probar”.

Answer 7

Si x es racional, entonces x al cuadrado también es racional y tiene una raíz cuadrada racional.