Dado [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2> 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] c ^ 2 + d ^ 2> 1, [/ matemáticas]
combinando ambos [matemática], a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2> 2 —1 [/ matemática]
La desigualdad de Cauchy-Schwarz implica la desigualdad
Media aritmética [matemática] ≥ [/ matemática] Media geométrica
- Cómo resolver [matemáticas] \ frac {1} {x} + \ frac {1} {y} = \ frac {1} {3} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ frac {x ^ 2} {y} + \ frac {y ^ 2} {x} = 12 [/ matemáticas]
- ¿El conjugado de un número complejo tiene algo que ver con el conjugado en la teoría de grupos?
- Los dos términos de una progresión aritmética son [matemática] t_ {5} = – 30.6 [/ matemática] y [matemática] t_ {15} = – 89.6 [/ matemática]. ¿Qué es [math] t_ {21} [/ math]?
- ¿Cuál es el resto cuando el determinante dado a continuación se divide por 5?
- ¿Qué es E (X * CDF (X)) donde X es Normal Normal?
[matemáticas] \ frac {a + c} {2}> = \ sqrt {ac} [/ matemáticas]
cuadratura en ambos lados [matemática], a ^ 2 + c ^ 2 + 2ac> = 4ac [/ matemática]
[matemática] es decir a ^ 2 + c ^ 2> = 2ac —-2 [/ matemática]
de manera similar [matemáticas] b ^ 2 + d ^ 2> = 2bd —-3 [/ matemáticas]
combinando [matemática] 2 [/ matemática] y [matemática] 3, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2> = 2 (ac + bd) [/ matemática]
[matemáticas] (ac + bd) <= \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2} {2} [/ matemáticas]
de 1,
[matemáticas] (ac + bd) <= 1 [/ matemáticas]
restando 1 en ambos lados,
[matemáticas] (ac + bd) – 1 <= 0 —-4 [/ matemáticas] (RHS requerido)
de las [matemáticas] da ^ 2 + b ^ 2> 1, (a ^ 2 + b ^ 2 – 1)> 0 [/ matemáticas]
de manera similar [matemáticas] (c ^ 2 + d ^ 2 – 1)> 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] (a ^ 2 + b ^ 2 – 1) (c ^ 2 + d ^ 2 – 1)> 0 —-5 [/ matemáticas] (LHS requerido)
ya que todos los números son positivos [matemática] (a ^ 2, b ^ 2, c ^ 2, d ^ 2) [/ matemática]
LHS es mayor que 0 y RHS es menor que 0
Por lo tanto demostró la desigualdad.
Fuente,
Desigualdad de medios aritméticos y geométricos