Cómo resolver [matemáticas] \ frac {1} {x} + \ frac {1} {y} = \ frac {1} {3} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ frac {x ^ 2} {y} + \ frac {y ^ 2} {x} = 12 [/ matemáticas]

Answer 1

Tenga en cuenta que [matemática] x \ ne 0 [/ matemática], [matemática] y \ ne 0 [/ matemática]. Tenga en cuenta también que intercambiar [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] conduce al mismo par de ecuaciones. Finalmente, [matemática] x = y [/ matemática] da [matemática] \ frac {2} {x} = \ frac {1} {3} [/ matemática] y [matemática] x + x = 12 [/ matemática], ambos dan [matemáticas] x = 6 [/ matemáticas].

De ahora en adelante podemos suponer que [matemáticas] x> y [/ matemáticas]. Las dos ecuaciones son:

[matemáticas] xy = 3 (x + y) [/ matemáticas] y [matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 = 12xy [/ matemáticas].

Por lo tanto

[matemáticas] 36 (x + y) = x ^ 3 + y ^ 3 = (x + y) ^ 3 – 3xy (x + y) = (x + y) ^ 3 – 9 (x + y) ^ 2 [ /matemáticas].

Entonces, [matemáticas] x + y = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] (x + y) ^ 2–9 (x + y) -36 = 0 [/ matemáticas].

Si [matemática] x + y = 0 [/ matemática], entonces [matemática] xy = 3 (x + y) = 0 [/ matemática]. Esto es imposible ya que [math] x \ ne 0 [/ math] y [math] y \ ne 0 [/ math].

La cuadrática en [matemáticas] x + y [/ matemáticas] da [matemáticas] x + y = 12 [/ matemáticas] o [matemáticas] x + y = -3 [/ matemáticas].

Si [matemáticas] x + y = 12 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] xy = 3 (x + y) = 36 [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] (xy) ^ 2 = (x + y) ^ 2–4xy = 0 [/ matemáticas], y este caso ya ha sido considerado.

Si [matemática] x + y = -3 [/ matemática], entonces [matemática] xy = 3 (x + y) = – 9 [/ matemática]. Entonces [matemáticas] (xy) ^ 2 = (x + y) ^ 2–4xy = 45 [/ matemáticas], de modo que [matemáticas] xy = 3 \ sqrt {5} [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] x = \ frac {3} {2} (\ sqrt {5} -1) [/ matemáticas] y [matemáticas] y = – \ frac {3} {2} (\ sqrt {5} +1 )[/matemáticas].

Por lo tanto, las tres soluciones son

[matemáticas] \ left (\ frac {3} {2} (\ sqrt {5} -1), – \ frac {3} {2} (\ sqrt {5} +1) \ right), \ left (- \ frac {3} {2} (\ sqrt {5} +1), \ frac {3} {2} (\ sqrt {5} -1) \ right), (6,6) [/ math].

Answer 2

El sistema se convierte en:
[matemáticas] 3 (x + y) = xy \ quad (1) [/ matemáticas] y
[matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 = 12xy \ quad (2) [/ matemáticas]
Porque [matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 = (x + y) (x ^ 2 -xy + y ^ 2) = (x + y) [(x + y) ^ 2 – 3xy] [/ matemáticas] entonces que el sistema está escrito de la siguiente manera:
[matemáticas] 3 (x + y) = xy \ quad (3) [/ matemáticas] y
[matemáticas] (x + y) [(x + y) ^ 2 – 3xy] = 12xy \ quad (4) [/ matemáticas]
Deje [math] u = x + y \ neq 0, \, v = xy \ neq 0 \, (x, y \ neq 0) [/ math] el sistema original puede reescribirse para convertirse en un nuevo sistema de [math] u, v [/ math]:
[matemáticas] 3u = v \ quad (5) [/ matemáticas]
[matemáticas] u (u ^ 2 – 3v) = 12v \ quad (6) [/ matemáticas]
Inserte (5) en (6) tenemos:
[matemáticas] u (u ^ 2 -9u) = 36u [/ matemáticas]
[matemática] \ Leftrightarrow u (u ^ 2 – 9u -36) = 0 [/ matemática]
[matemática] \ Leftrightarrow u ^ 2 -9u -36 = 0 \ quad (7) [/ matemática] debido a [matemática] u \ neq 0, v \ neq 0 [/ matemática]
La ecuación (7) tiene dos raíces: [matemáticas] u = -3 [/ matemáticas] o [matemáticas] u = 12 [/ matemáticas]

Si [matemática] u = -3 [/ matemática] entonces [matemática] v = -9 [/ matemática] debido a (3). Tenemos un sistema para [matemáticas] x, y [/ matemáticas]:
[matemáticas] x + y = -3 [/ matemáticas] y [matemáticas] xy = -9 [/ matemáticas]
Las soluciones correspondientes: [matemáticas] \ displaystyle {(x, y) \ in \ left \ {\ left (\ frac {-3 (1+ \ sqrt {5})} {2}, \ frac {3 (\ sqrt {5} -1)} {2} \ right), \ left (\ frac {3 (\ sqrt {5} -1)} {2}, \ frac {-3 (1+ \ sqrt {5})} {2} \ right) \ right \}} [/ math]

Si [matemática] u = 12 [/ matemática] entonces [matemática] v = 36 [/ matemática] debido a (3). También tenemos un sistema para [matemáticas] x, y [/ matemáticas]
[matemáticas] x + y = 12 [/ matemáticas] y [matemáticas] xy = 36 [/ matemáticas]
La solución correspondiente: [matemáticas] (x, y) \ in \ left \ {(6,6) \ right \} [/ math]

Finalmente las soluciones:
[matemáticas] \ displaystyle {(x, y) \ in \ left \ {\ left (\ frac {-3 (1+ \ sqrt {5})} {2}, \ frac {3 (\ sqrt {5} – 1)} {2} \ right), \ left (\ frac {3 (\ sqrt {5} -1)} {2}, \ frac {-3 (1+ \ sqrt {5})} {2} \ derecha), (6,6) \ derecha \}} [/ matemáticas]

Comentario : para sistemas cuyas ecuaciones son simétricas con respecto a [matemáticas] x, y [/ matemáticas] tales como:
[matemáticas] f (x, y) = f (y, x) = 0 \ quad (I) [/ matemáticas] y [matemáticas] g (x, y) = g (y, x) = 0 \ quad (II )[/matemáticas]
En la mayoría de los casos, podemos resolverlos introduciendo dos nuevas variables con la moda de la siguiente manera:
[matemáticas] u = x + y, v = xy [/ matemáticas]
Y (I), (II) se pueden reescribir como el sistema de [math] u, v [/ math] que se espera que sea más fácil de resolver.

Answer 3

Sea 12 = 3 * 4 = 4 * {1 / (1 / x +1 / y)},

entonces la segunda ecuación se puede escribir como:

(x ^ 2 / y + y ^ 2 / x) * (1 / x + 1 / y) = 4

Entonces

LHS = (x / y + y / x) ^ 2 + (x / y + y / x) -2

RHS = 4

Deje LHS = RHS

Observando x / y + y / x> = 2 o <= - 2 y 1 / x + 1 + y = 1/3

podemos deducir que x / y + y / x = 2 o -3

1. si x / y + y / x = 2, entonces x = y = 6
2. si x / y + y / x = -3, entonces sea p = x / y, podemos derivar p = a y b. Luego, usando x = py y 1 / x + 1 / y = 1/3, finalmente puede obtener las otras dos soluciones.

Answer 4

Puede expresar una de las ecuaciones en términos de una de las variables, por ejemplo x = .. algo, y luego sustituir esa variable (expresión) en la siguiente ecuación.

Haz tu tarea tú mismo. Es para su propio beneficio. 🙂

Answer 5

Si expresa x en términos de y, obtiene el siguiente polinomio
y ^ 4 – 9y ^ 3 + 9y ^ 2 + 72y -144 = 0
resolviendo y y luego sustituyendo por x obtendrás la siguiente respuesta
(x, y) = (5.67, 6.37) y (1.46, -2.86).

Nota: dos valores de y son imaginarios y solo dos son reales. Solo he considerado valores reales.

Espero que esto ayude.