De lo que realmente habla el álgebra abstracta es de lo que realmente hablan todas las matemáticas, es decir que habla de una estructura divorciada del contexto.
Si ya has hecho algo de álgebra elemental, lo reconocerás. Por ejemplo, aquí hay algunas preguntas que se pueden resolver con álgebra elemental:
- Si una persona pide prestados $ 20,000 al 5% de interés anual, y otra persona pide prestados $ 30,000 al 5% de interés anual, ¿tomará el mismo número de años para que sus deudas se dupliquen?
- Si un tren comienza a 200 millas de Chicago, y viaja hacia la ciudad a 30 millas por hora, y un segundo tren comienza a 150 millas de Chicago, y viaja hacia la ciudad a 40 millas por hora, ¿qué tren llegará primero a Chicago?
- Si la Estación Espacial Internacional orbita alrededor de la Tierra cada hora y 32 minutos, ¿cuántas órbitas forma en un año?
Esas preguntas, a primera vista, no tienen mucho en común. Sin embargo, todos pueden representarse como sistemas de ecuaciones con algunas cantidades conocidas y algunas cantidades desconocidas. A partir de ahí, puede usar las herramientas de álgebra para derivar ecuaciones que le pueden indicar el valor de las cantidades desconocidas en términos de las cantidades conocidas. Esa es la clave, las mismas herramientas para trabajar con ecuaciones sobre tasas de interés también se pueden usar para trabajar con ecuaciones sobre naves espaciales en órbita. Así que, en última instancia, decidimos dejar a un lado el contexto y simplemente discutir la estructura de este tipo de ecuaciones. Eso se llama álgebra.
La comprensión fundamental es que las cantidades pueden representar cosas diferentes, pero las relaciones entre cantidades son siempre las mismas. 200 dólares divididos por 10 personas son 20 dólares por persona, al igual que 200 millas divididas por 10 horas son 20 millas por hora. En álgebra abstracta, la comprensión fundamental es que las cosas que no sean cantidades simples pueden tener tales relaciones entre sí.
- ¿Cuál es la raíz cuadrada de 46?
- Sean a, b, cyd números reales. ¿Cómo puedo probar que (a ^ 2 + b ^ 2-1) (c ^ 2 + d ^ 2-1)> (ac + bd-1) 2. a ^ 2 + b ^ 2> 1 y c ^ 2 + d ^ 2> 1?
- Cómo resolver [matemáticas] \ frac {1} {x} + \ frac {1} {y} = \ frac {1} {3} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ frac {x ^ 2} {y} + \ frac {y ^ 2} {x} = 12 [/ matemáticas]
- ¿El conjugado de un número complejo tiene algo que ver con el conjugado en la teoría de grupos?
- Los dos términos de una progresión aritmética son [matemática] t_ {5} = – 30.6 [/ matemática] y [matemática] t_ {15} = – 89.6 [/ matemática]. ¿Qué es [math] t_ {21} [/ math]?
Por ejemplo, aquí hay algunas preguntas que se pueden resolver con álgebra abstracta:
- Si giro un objeto 90 ° alrededor del eje A, y luego 90 ° alrededor del eje B, ¿estará orientado de la misma manera que si hubiera hecho las rotaciones en el orden inverso?
- Si tengo un círculo dibujado en un papel, ¿puedo construir un cuadrado que tenga la misma área que el círculo usando solo una brújula y una regla?
- Si barajo un mazo de cartas exactamente de la misma manera cada vez, ¿cuál es la cantidad máxima de veces que necesitaría barajar un mazo antes de que vuelva al mismo orden en que comenzó?
Lo que encontramos es que si estamos aplicando dos barajaduras a una baraja de cartas o aplicando dos rotaciones a un objeto en el espacio, hay una cierta similitud estructural con esas composiciones. Entonces creamos la “teoría de grupo”, que nos permite representar barajas y rotaciones de objetos de la misma manera. Luego podemos derivar cosas sobre los grupos en general, y aplicar lo que aprendemos a cualquier contexto en el que estemos interesados. Eso se llama álgebra abstracta.
🙂
En física, hay todo tipo de cosas que se pueden representar algebraicamente que no son cantidades simples. Por ejemplo, en la relatividad especial, el conjunto de transformaciones de un marco de referencia inercial a otro forma el “grupo de Lorentz”. Los elementos de este grupo no son cantidades simples, son transformaciones de coordenadas. Pero se pueden componer unos con otros exactamente de la misma manera que se pueden barajar los mazos y las rotaciones. Y como tal, se pueden aplicar las mismas herramientas algebraicas.
¡Espero que esto ayude!
Nota: Me he centrado principalmente en grupos en esta respuesta, pero hay muchas otras estructuras algebraicas abstractas. (Por ejemplo, anillos y campos).