Cómo demostrar que la expresión [matemáticas] a ^ {2} + ab + b ^ {2} [/ matemáticas] siempre es positiva donde a y b son números reales distintos

Answer 1

Editar: he publicado la respuesta realmente breve de una línea al final de mi explicación; permítanme copiarla aquí también. Puedes probar lo que quieres, simplemente, completando el cuadrado como:

[matemáticas] a ^ 2 + ab + b ^ 2 = (a + \ frac {b} {2}) ^ 2+ \ frac {3b ^ 2} {4} [/ matemáticas]

A medida que terminas con la suma de cuadrados, la expresión es positiva.

Aquí viene la explicación completa.
Ahora, así es como tomas un concepto extremadamente simple, le das un pequeño giro y haces que parezca más difícil. En este problema, ” un concepto simple que involucra una variable ” se ha transformado en ” un problema matemático en dos variables ”

Considere dos casos:

Caso 1: [matemáticas] b = 0 [/ matemáticas]
Caso 2: [matemáticas] b \ neq0 [/ matemáticas]

En el primer caso, la expresión se reduce a [math] a ^ 2 [/ math] que es definitivamente positiva. Entonces, centrémonos en el último caso. Como [math] b \ neq0 [/ math], la expresión dada se puede escribir como:

[matemáticas] c ^ 2 + c + 1 [/ matemáticas]

(donde [matemáticas] c = \ frac {a} {b} [/ matemáticas])

Ahora, ¿no sabemos que la expresión [matemáticas] c ^ 2 + c + 1 [/ matemáticas] es siempre positiva? ¿No podemos completar fácilmente el cuadrado y mostrar esto?

Ahora, este es el concepto extremadamente simple: [matemática] c ^ 2 + c + 1> 0 [/ matemática], cuando [matemática] c [/ matemática] es real. La pregunta es la extensión de dos variables.

Ahora, uno puede preguntar sobre cómo completar el cuadrado en la expresión original, ¿por qué no hacerlo?

[matemáticas] a ^ 2 + ab + b ^ 2 = (a + \ frac {b} {2}) ^ 2+ \ frac {3b ^ 2} {4} [/ matemáticas]

¡Ay, obtienes la suma de dos cuadrados, y por lo tanto esto es positivo!

Answer 2

Proporcionaré una solución trivial que no requiere reescribir la expresión.

Hay tres casos:

1. ab es positivo, entonces los tres términos son positivos y también lo es su suma
2. ab es negativo
Sin pérdida de generalidad, suponga que | a | > | b | (son distintos)
Entonces a ^ 2 + ab + b ^ 2 = a ^ 2 – | a || b | + b ^ 2
= | a | ^ 2 – | a || b | + b ^ 2
> | a || b | – | a || b | + b ^ 2 (desde | a |> | b |)
= b ^ 2
> = 0
3. ab = 0
En este caso, la expresión es igual a a ^ 2 + b ^ 2, ¡lo cual es positivo! (ya que solo uno de ayb es cero)
¡Por lo tanto, en ambos casos la expresión proporcionada es positiva!

Answer 3

[matemáticas] a – b [/ matemáticas] siempre tiene el mismo signo que [matemáticas] a ^ 3 – b ^ 3 [/ matemáticas]. Dado que [matemáticas] a ^ 3 – b ^ 3 = (a – b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) [/ matemáticas], [matemáticas] a ^ 2 + ab + b ^ 2 [/ matemáticas] puede nunca sea negativo cuando [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] son ​​distintas.

Answer 4

Tienes la ecuación:
[matemáticas] a ^ {2} + b ^ {2} + ab [/ matemáticas]

Esto puede escribirse además como:
[matemáticas] (a + b) ^ {2} – ab [/ matemáticas] ¿Correcto? … (Ec. 1)

Recuerde las lecciones que aprendió en media aritmética (AM) y media geométrica (GM); AM> = GM.
Así que usemos eso en estos números a y b (para todos los valores de a y b, que están en el dominio real)

[matemáticas] \ frac {a + b} {2}> = \ sqrt {ab} [/ matemáticas]
[matemática] a + b> = 2 \ sqrt {ab} [/ matemática] … (ecuación 2)

Eq. 2 implica que dado que [math] a + b> = 2 \ sqrt {ab} [/ math],
[matemática] a + b> \ sqrt {ab} [/ matemática] debe ser verdadera.

¡Entonces tomemos el camino de abajo hacia arriba!

Por lo tanto,
[matemáticas] (a + b) ^ {2}> ab [/ matemáticas]
[matemáticas] (a + b) ^ {2} – ab> 0 [/ matemáticas]
Lo que nos lleva a la ecuación. 1)

Por lo tanto, [matemáticas] a ^ {2} + ab + b ^ {2}> 0 [/ matemáticas]
Espero que responda tu pregunta 🙂

Answer 5

Solo estoy agregando esto ya que nadie lo ha señalado todavía.

Deje que [math] \ omega = e ^ {2 \ pi i / 3} = – \ frac {1} {2} + i \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ math] sea una raíz cúbica de unidad. Para cualesquiera dos números reales a y b, dejemos [math] z = ab \ omega [/ math], luego

[matemáticas] | z | ^ 2 = (ab \ omega) (ab \ overline {\ omega}) = a ^ 2 + b ^ 2-ab \ cdot2 \ Re (\ omega) = a ^ 2 + b ^ 2 + ab. [/ matemáticas]

(desde [math] \ overline {\ omega} = \ omega ^ {- 1} [/ math]). Por lo tanto, la expresión es la norma al cuadrado de un número complejo y, por lo tanto, es positiva.

Answer 6

La mayoría de las personas han proporcionado un método algebraico para resolver este problema. Proporciono un enfoque diferente usando cálculo / optimización. Este método puede ser excesivo para este problema, pero se puede aplicar de manera mucho más general, es decir, se puede aplicar fácilmente a funciones de cualquier número de variables que no son necesariamente polinomios.

Considere la función [matemáticas] f (a, b) = a ^ 2 + ab + b ^ 2 [/ matemáticas] que tiene derivadas

[matemáticas] f_a (a, b) = 2a + b [/ matemáticas]

[matemáticas] f_b (a, b) = 2b + a [/ matemáticas]

[matemáticas] H = \ left [\ begin {array} {cc} f_ {a, a} (a, b) & f_ {a, b} (a, b) \\ f_ {a, b} (a, b) & f_ {b, b} (a, b) \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \ end {array} \ right] [/matemáticas]

Dado que para todas las [matemáticas] a, b [/ matemáticas], la matriz de Hesse [matemáticas] H [/ matemáticas] es una matriz simétrica y una matriz diagonalmente dominante, se deduce que para todas las [matemáticas] a, b [/ matemáticas] el hessiano matriz [matemática] H [/ matemática] es positiva semi-definida. Esto significa que

(a) cualquier punto crítico (un punto crítico es una solución a [matemáticas] f_a (a, b) = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] f_b (a, b) = 0 [/ matemáticas]) es un mínimo local ,

y

(b) [matemática] f (a, b) [/ matemática] es una función convexa.

Un mínimo local de una función convexa también es un mínimo global. Como [math] (a, b) = (0,0) [/ math] es el único punto crítico, ahora se deduce que [math] f (a, b) [/ math] tiene un mínimo global único en [math ] (a, b) = (0,0) [/ matemáticas], es decir

[matemáticas] \ para todos a, b: f (a, b) \ geq f (0,0) = 0 [/ matemáticas]

En otras palabras, hemos demostrado que [math] f (a, b) [/ math] siempre es no negativo.

Observación 1: No podemos mostrar que [matemática] f (a, b) [/ matemática] siempre es positiva, porque no lo es: [matemática] f (0,0) = 0 [/ matemática]. Para mostrar que una función siempre es positiva utilizando el enfoque anterior, tendríamos que demostrar que el mínimo global era estrictamente positivo.

Observación 2: en este ejemplo, la matriz [matemática] H [/ matemática] es estrictamente diagonalmente dominante, lo que (junto con [matemática] H [/ matemática] es simétrica) implica que [matemática] H [/ matemática] es una definición estrictamente positiva matriz. Por lo tanto, [math] f (a, b) [/ math] es una función estrictamente convexa. Esto significa que incluso antes de resolver [matemáticas] f_a (a, b) = 0 = f_b (a, b) [/ matemáticas] ya sabemos que [matemáticas] f (a, b) [/ matemáticas] tiene un mínimo global único .

Answer 7

Un enfoque es el álgebra directa . Comience con la expresión original. Para a y b distintos, al menos uno es distinto de cero. Por lo tanto, [math] {(a + b)} ^ {2} \ geq 0 [/ math] y [math] {a} ^ {2} + {b} ^ {2}> 0 [/ math]. Cuadrando la primera expresión y sumando el resultado a la segunda obtenemos [matemáticas] 2 ({a} ^ {2} + ab + {b} ^ {2})> 0 [/ matemáticas] (ya que un término mayor o igual que cero y un término mayor que cero se suman a un término mayor que cero). Dividir por 2 da el resultado deseado.

Para enfoques alternativos es conveniente dejar que b = ra. Luego, sustituyendo, la pregunta es equivalente a preguntar si [math] 1 + r + {r} ^ {2} [/ math] siempre es positivo. El polinomio en r es + infinito ya que r tiende a + o – infinito. Entonces se puede ver que siempre es positivo en más de una forma; aquí están algunos

1. Encontrar el mínimo . El valor mínimo es 0.75 en r = -0,5. Por lo tanto, la expresión es siempre positiva.
2. Encontrar las raíces . Resolver [matemática] 1 + r + {r} ^ {2} = 0 [/ matemática], resulta en complejo r y, por lo tanto, no hay cero real. De nuevo, la expresión siempre es positiva.
3. Inspección. En este y en los siguientes enfoques no dependemos de la observación anterior sobre el comportamiento para grandes | r |. Para 0 =
4. Cambio de variable . Deje r = y – 1/2. Luego, después de la sustitución, el polinomio en r anterior se convierte en [matemática] {y} ^ {2} + \ frac {3} {4} [/ matemática] que es claramente positivo para y real y tan positivo para r real.

Answer 8

Aquí hay una prueba geométrica.

Cambiaremos el signo de [math] b [/ math] y demostraremos que [math] a ^ 2 – ab + b ^ 2> 0 [/ math], que es idéntico al enunciado original. El resultado es obvio si [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] tienen signos opuestos. Así que consideremos el caso cuando [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] tienen el mismo signo. Sin pérdida de generalidad, tome [math] a, b \ geq 0 [/ math].

Considere un triángulo con dos lados de longitud [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática], con el ángulo entre los lados igual a [matemática] \ gamma = 60 ^ \ circ [/ matemática].
Esquema del triángulo [1].

De acuerdo con la Ley de cosenos, tenemos [matemáticas] c ^ 2 = a ^ 2 – ab + b ^ 2 [/ matemáticas]. Como el cuadrado del tercer lado tiene que ser positivo, tenemos nuestro resultado.

De hecho, podemos usar el mismo resultado para otros valores del ángulo [math] \ gamma [/ math]. Considerando todos los ángulos en el rango [matemática] \ izquierda [0, \ pi \ derecha] [/ matemática], obtenemos que [matemática] a ^ 2 + xab + b ^ 2 [/ matemática] siempre es positiva para [matemática] ] -2 \ leq x \ leq 2 [/ math].

Alternativamente, puede pensar en esto como una media ponderada de dos números positivos [matemática] (ab) ^ 2 [/ matemática] y [matemática] (a + b) ^ 2 [/ matemática] con pesos positivos y, por lo tanto, es positiva .

[1] Fuente de la imagen: Wikimedia Commons. Autor: Usuario: Dweisman. Imagen en dominio público.

Answer 9

Déjame hacerlo de otra manera. Como [math] a \ neq b [/ math], uno de ellos debe ser más grande, y dado que es simétrico, escojamos a . Entonces [math] ab> 0 [/ math], y como sabemos que [math] y = x ^ 3 [/ math] es monotónico, también tenemos [math] a ^ 3> b ^ 3 [/ math], o [matemáticas] a ^ 3-b ^ 3> 0 [/ matemáticas]. Ahora tomemos la razón de estos dos números positivos: [matemáticas] \ frac {a ^ 3-b ^ 3} {ab}> 0 [/ matemáticas], o, por una identidad algebraica conocida, [matemáticas] a ^ 2 + ab + b ^ 2> 0 [/ matemáticas].

Answer 10

desde a3-b3 = (ab) ( a2 + ab + b2)
por lo tanto ( a2 + ab + b2) = ( a3-b3) / (ab)

Caso 1: si a es mayor que b, entonces a3 también es mayor que b3.
por lo tanto, la expresión en RHS seguirá siendo positiva.

Caso 2: si b es mayor que a, puede probarse de manera similar al caso 1.

Caso 3: el caso más problemático cuando a = b se descarta por su propia pregunta, es decir, ambos números son distintos. Si este caso estaba presente, entonces no se puede decir nada, ya que el RHS ahora no se definirá.

Answer 11

El discriminante del gráfico cuadrático [matemática] y = x ^ 2 + cx + c ^ 2 [/ matemática] es [matemática] c ^ 2-4c ^ 2 = -3c ^ 2 <0 [/ matemática] siempre que [matemática] c [/ math] es un número real. Por lo tanto, el gráfico está completamente por encima del eje [matemático] x [/ matemático] o completamente por debajo de él. Dado que, cuando [math] x = 0 [/ math], [math] y = c ^ 2> 0 [/ math], el gráfico está completamente por encima del eje [math] x [/ math], lo que significa que [ math] x ^ 2 + cx + c ^ 2 [/ math] siempre es positivo para real [math] c [/ math] y [math] x [/ math].

Ahora reemplace [matemáticas] c [/ matemáticas] y [matemáticas] x [/ matemáticas] con [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas], y el resultado sigue.

Answer 12

• Buenas explicaciones de otros, pero estoy escribiendo para dar otra explicación.
• [matemática] a ^ 2 + ab + b ^ 2 [/ matemática] solo puede ser negativa cuando [matemática] ab <0 [/ matemática] ya que los otros dos términos son definitivamente positivos.
• Si [math] ab <0 [/ math] entonces [math] a <0 [/ math] o [math] b <0 [/ math]
• Si [matemática] a <0 [/ matemática], entonces [matemática] {b ^ 2 - ab = b (ba)}> 0 [/ matemática]. Cambie las letras [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] cuando [matemática] b <0 [/ matemática].
• Por lo tanto, cada vez que [math] ab <0 [/ math], uno (o ambos) de los términos, [math] a ^ 2 [/ math] o (y) [math] b ^ 2 [/ math], sea mayor que eso y así toda la expresión siempre será positiva.

Answer 13

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 + ab [/ matemáticas]
[matemáticas] = a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab – ab [/ matemáticas]
[matemáticas] = (a + b) ^ 2 – ab [/ matemáticas]

Caso 1 : Si tanto [matemática] a [/ matemática] como [matemática] b [/ matemática] son ​​+ ve o -ve,
[matemática] | a + b | [/ matemática] será mayor o igual que [matemática] | a | [/ matemática] y [matemática] | b | [/matemáticas]
[matemáticas] entonces | a + b | ^ 2> = | a | * | b | [/matemáticas]
o [matemáticas] (a + b) ^ 2> = ab [/ matemáticas] (ya que tanto a como b son del mismo signo)
por lo tanto [matemáticas] (a + b) ^ 2 – ab> = 0 [/ matemáticas]
o [matemáticas] a ^ 2 + ab + b ^ 2> = 0 [/ matemáticas]

Caso 2 : Uno de [matemática] a [/ matemática] o [matemática] b [/ matemática] es + ve y el otro es -ve
En ese caso, [matemática] (a + b) ^ 2 [/ matemática] sigue siendo [matemática]> = 0 [/ matemática] y [matemática] ab <= 0 [/ matemática]
entonces [math] -ab> = 0 [/ math]
por lo tanto, [math] (a + b) ^ 2 + (- ab) [/ math] es una suma de dos números positivos
entonces [matemáticas] (a + b) ^ 2 – ab> = 0 [/ matemáticas]
o [matemáticas] a ^ 2 + ab + b ^ 2> = 0 [/ matemáticas]

Answer 14

[matemáticas] a ^ 2 + ab + b ^ 2 [/ matemáticas] es más grande que [matemáticas] a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 [/ matemáticas] o más grande que [matemáticas] a ^ 2 – 2 ab + b ^ 2 [/ matemáticas]
Lo que significa que es mayor que el mínimo ((a + b) ^ 2, (ab) ^ 2) que es mayor que 0.

Answer 15

Tenemos
[matemáticas] 2 (a ^ 2 + ab + b ^ 2) = (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2) + a ^ 2 + b ^ 2 = (a + b) ^ 2 + a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas]
y este es un número real positivo desde [math] a \ neq 0 [/ math] o [math] b \ neq 0 [/ math].

De [matemáticas] 2 (a ^ 2 + ab + b ^ 2)> 0 [/ matemáticas], concluimos que [matemáticas] a ^ 2 + ab + b ^ 2> 0 [/ matemáticas].

Answer 16

Para que [matemáticas] (a + b) ^ 2 [/ matemáticas] sea positivo,
Entonces [math] a ^ 2 + b ^ 2 [/ math] debe ser mayor que [math] 2 ab [/ math], lo que sea [math] ab [/ math]

Answer 17

[matemáticas] a ^ 2 + ab + b ^ 2 = (a + \ dfrac {b} {2}) ^ 2+ \ dfrac {3b ^ 2} {4} [/ matemáticas]
Dado que los términos [matemática] (a + \ dfrac {b} {2}) ^ 2 [/ matemática] y [matemática] \ dfrac {3b ^ 2} {4} [/ matemática] son ​​siempre no negativos, la expresión completa no es negativa .
Considere si la expresión es cero.
Obviamente, tanto a como b son 0 pueden satisfacerlo. Contradice que ayb son números reales distintos.
Por lo tanto, toda la expresión solo puede ser positiva.

Answer 18

a ^ 2 + b ^ 2 + ab nunca puede ser negativo. Se le da ayb son números reales distintos. tomemos casos:
a> by all + ve, entonces la expresión siempre permanecerá + ve.

Si uno de los números es -ve, deje que b sea negativo y a sea positivo
Después también,
a ^ 2 y b ^ 2 serán positivos y ab serán negativos, pero la expresión siempre seguirá siendo positiva porque la expresión consiste en un cuadrado de un valor numérico máximo entre dos, por lo tanto, no puede ser -ve.

Answer 19

En realidad es bastante obvio. Si ambos son positivos o ambos negativos, entonces es un problema trivial. Si están firmados de manera opuesta, entonces dependiendo de si [matemáticas] a ^ 2> b ^ 2 [/ matemáticas] o viceversa, [matemáticas] a ^ 2 – | ab | > 0 [/ matemática] o [matemática] b ^ 2 – | ab | > 0 [/ matemáticas], respectivamente.

Answer 20

[matemática] a ^ 2 + ab + b ^ 2 = \ left (a + \ frac b2 \ right) ^ 2 + \ frac {3b ^ 2} {4} [/ math] que siempre es positivo siempre que no ambos [matemáticas] a, b [/ matemáticas] son ​​cero.