Si [matemáticas] xy = 24, \; xz = 30, \; yz = 15 [/ matemáticas]; ¿Cuánto es [matemáticas] x + y + z? [/ matemáticas]

Answer 1

La respuesta es [matemáticas] 17 \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]. Usaré las matemáticas menos complicadas que pueda. Además, esta no es la forma más rápida.

Estrategia: tomar proporciones.

[matemáticas] \ dfrac {xy} {xz} = \ dfrac {y} {z} = \ dfrac {24} {30} = \ dfrac {4} {5} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {xz} {yz} = \ dfrac {x} {y} = \ dfrac {30} {15} = \ dfrac {2} {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {xy} {yz} = \ dfrac {x} {z} = \ dfrac {24} {15} = \ dfrac {8} {5} [/ matemáticas]

entonces,

[matemáticas] \ dfrac {y} {z} = \ dfrac {4} {5} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {x} {y} = \ dfrac {2} {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {x} {z} = \ dfrac {8} {5} [/ matemáticas]

Haré [matemáticas] \ dfrac {x} {y} = \ dfrac {2} {1} = \ dfrac {8} {4} [/ matemáticas]

porque las relaciones simples funcionarán. Esto es lo que quiero decir

Cuando x = 8 y = 4 y z = 5 las razones simples funcionan pero no satisfacen las tres ecuaciones anteriores. (es decir, con mis números [matemática] xy = 32 [/ matemática] pero arriba debería estar [matemática] xy = 24 [/ matemática]). Entonces,

Dejar,

[matemáticas] \ dfrac {y} {z} = \ dfrac {4n} {5n} [/ matemáticas]

Como [math] yz = 15 [/ math]

[matemáticas] (4n) (5n) = 20n ^ 2 = 15 [/ matemáticas] y resuelve para n.

[matemáticas] n = \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

entonces,

[matemáticas] y = 4 \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

Al hacer el mismo procedimiento con las otras ecuaciones, terminas obteniendo lo siguiente:

[matemáticas] x = 8 \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] z = 5 \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

Finalmente,

[matemáticas] x + y + z = 8 \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} + 4 \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} + 5 \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} = 17 \ dfrac {\ sqrt {3}} {2}. [/ Math]

Answer 2

Me gustaría multiplicar las tres ecuaciones.

Entonces, [matemáticas] x ^ {2} y ^ {2} z ^ {2} = 24 * 30 * 15 [/ matemáticas]

o, [matemáticas] xyz = \ pm \ sqrt {10800} [/ matemáticas]

o, [matemáticas] xyz = \ pm 60 \ sqrt {3} [/ matemáticas]

Tomando el signo + ve por una vez.

Lo entendemos

[matemáticas] xyz = 60 \ sqrt {3} [/ matemáticas]

Ahora, [matemáticas] x + y + z = xyz * (\ frac {1} {xy} + \ frac {1} {yz} + \ frac {1} {xz}) [/ math]

Entonces, [matemáticas] x + y + z = 60 \ sqrt {3} * (\ frac {1} {24} + \ frac {1} {30} + \ frac {1} {15}) [/ matemáticas]

Lo anterior se reduce a,

[matemáticas] x + y + z = 60 \ sqrt {3} * \ frac {17} {120} = 8.5 * \ sqrt {3} [/ matemáticas]

Lo mismo ocurre con el signo -ve también.

Entonces, en ese caso [matemáticas] x + y + z = -8.5 * \ sqrt {3} [/ matemáticas]

(En el caso de que xyz sea un valor -ve, la 3-tupla (+ x, + y, + z) simplemente se reemplaza por la 3-tupla (-mod (x), – mod (y), – mod (z))).

Answer 3

Primera nota que:

(X + y + z) (xyz) = [matemática] x ^ 2yz [/ matemática] [matemática] + y ^ 2xz + z ^ 2xy [/ matemática] [matemática] (1) [/ matemática]

Los tres términos en el lado derecho se pueden calcular multiplicando dos términos cualquiera en el dado de modo que:

[matemáticas] X ^ 2yz = xy * xz = 24 * 30 = 720 [/ matemáticas]

[matemáticas] Y ^ 2xz = xy * yz = 24 * 15 = 360 [/ matemáticas]

[matemáticas] Z ^ 2xy = xz * yz = 30 * 15 = 450 [/ matemáticas]

Además, si multiplicamos los tres términos dados, obtendremos [matemática] x ^ 2 * y ^ 2 * z ^ 2 [/ matemática]

Y [matemáticas] xyz = sqrt (x ^ 2 * y ^ 2 * z ^ 2) [/ matemáticas] = [matemáticas] sqrt (24 * 30 * 15) = 103.9 (2) [/ matemáticas]

De (1) y (2)

[matemáticas] (x + y + z) = (720 + 360 + 450) /103.9 [/ matemáticas]

Answer 4

[matemáticas] \ frac {xy * yz} {zx} = y ^ 2 = \ frac {24 * 15} {30} = 12; y = \ sqrt {12} = 2 \ sqrt 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {xy * xz} {yz} = x ^ 2 = \ frac {24 * 30} {15} = 48; x = \ sqrt {12} = 4 \ sqrt 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {xz * yz} {xy} = z ^ 2 = \ frac {30 * 15} {24} = \ frac {75} {4}; z = \ sqrt {\ frac {75} {4 }} = \ frac {5 \ sqrt 3} {2} [/ matemáticas]

Agregar [matemática] \ boxed {x + y + z = \ frac {17 \ sqrt 3} {2}} [/ math]

Nota: Solo se consideran las raíces positivas. Si es negativo, todos son negativos y el total también cambia de signo.

Answer 5

[matemáticas] xz = 30 [/ matemáticas]

[matemáticas] yz = 15 = (1/2) xz [/ matemáticas]

[matemáticas] y = (1/2) x [/ matemáticas]

[matemáticas] 2y = x [/ matemáticas]

[matemáticas] xy = (2y) y = 24 [/ matemáticas]

[matemáticas] y ^ 2 = 12 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 2 \ sqrt {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 4 \ sqrt {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] z = \ frac {15} {2 \ sqrt {3}} = \ frac {5 \ sqrt3} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] x + y + z = (4 + 2 + 5/2) \ sqrt {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 8 \ tfrac {1} {2} \ sqrt {3} [/ matemáticas]

Answer 6

Aquí hay una forma de obtener la solución:

De [math] xy = 24 [/ math] obtenemos [math] x = \ frac {24} {y} …………… (1) [/ math]

De [matemáticas] xz = 30 [/ matemáticas] obtenemos [matemáticas] x = \ frac {30} {z} [/ matemáticas] [matemáticas] …………… (2) [/ matemáticas]

Como los lados izquierdos de (1) y (2) son iguales, los lados derechos también lo son, por lo que obtienes

[matemáticas] \ frac {24} {y} = \ frac {30} {z} [/ matemáticas]

De [matemáticas] yz = 15 [/ matemáticas] obtenemos que [matemáticas] y = \ frac {15} {z} [/ matemáticas]

Ahora conseguiremos

[matemáticas] \ frac {24} {\ frac {15} {z}} = \ frac {30} {z} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {24z} {15} = \ frac {30} {z} [/ matemáticas]

[matemáticas] 24z ^ 2 = 450 \ Leftrightarrow z ^ 2 = \ frac {450} {24} \ Leftrightarrow z = \ pm \ sqrt {\ frac {3 \ cdot25} {4}} \ Leftrightarrow z = \ pm2,5 \ sqrt {3} [/ matemáticas]

Ahora para [matemáticas] y [/ matemáticas] obtenemos

[matemáticas] y = \ pm \ frac {15} {\ frac {5} {2} \ sqrt {3}} \ Leftrightarrow y = \ pm2 \ sqrt {3} [/ matemáticas]

Finalmente para [matemáticas] x [/ matemáticas] obtenemos

[matemáticas] x = \ pm \ frac {24} {2 \ sqrt {3}} \ Leftrightarrow x = \ pm4 \ sqrt {3} [/ matemáticas]

Así que ahora por la suma que tenemos

[matemáticas] x + y + z = 4 \ sqrt {3} +2 \ sqrt {3} +2,5 \ sqrt {3} = 8,5 \ sqrt {3} [/ matemáticas]

Luego sumamos los valores negativos

[matemáticas] x + y + z = -4 \ sqrt {3} -2 \ sqrt {3} -2,5 \ sqrt {3} = – 8,5 \ sqrt {3} [/ matemáticas]

Answer 7

Tenga en cuenta que la respuesta solo es exclusiva para firmar.
Multiplique los 3 productos para obtener [matemáticas] \ izquierda (xyz \ derecha) ^ 2 = 10800 [/ matemáticas]. Lamentablemente, esto no conduce exactamente a un cuadrado perfecto. Sin embargo, podemos ver que es [matemáticas] 10800 = 10 ^ 2 \ cdot108 = 10 ^ 2 \ cdot 6 ^ 2 \ cdot 3 = 60 ^ 2 \ cdot 3 [/ math]. Por lo tanto, [math] xyz = 60 \ sqrt3 [/ math] si queremos el resultado positivo.
Divida este resultado entre cada uno de los productos parciales que obtendrá (revertiré el orden en que obtiene los resultados) [matemática] x = 4 \ sqrt3, y = 2 \ sqrt3, z = 2.5 \ sqrt3 [/ matemática]. Su suma es [matemáticas] 8.5 \ sqrt3 [/ matemáticas]. La solución negativa tiene la suma exactamente menos esto.

Answer 8

5y = 4z

X = 2y

5x = 8z

X = 4 raíz cuadrada de 3

Y = 2 raíz cuadrada de 3

Z = 2.5 raíz cuadrada de 3

Total 6.5 raíz cuadrada de 3