Cómo demostrar que si [math] \ vec {y} [/ math] es una combinación lineal de las columnas de [math] AB [/ math], entonces [math] \ vec {y} [/ math] es lineal combinación de las columnas de [matemáticas] A [/ matemáticas]

Answer 1

Primero, aquí hay un hecho útil del álgebra lineal: la solución al sistema [math] A \ mathbf x = \ mathbf b [/ math] existe cuando [math] \ mathbf b [/ math] pertenece al espacio de columnas de [math ] A [/ math]: es decir, es una combinación lineal de columnas de [math] A [/ math] (consulte Los cuatro subespacios fundamentales para obtener más detalles).

Por lo tanto, para mostrar que [math] \ mathbf y [/ math] es una combinación lineal de columnas de [math] A [/ math], es necesario mostrar que existe algún vector [math] \ mathbf z [/ math] st [ math] A \ mathbf z = \ mathbf y [/ math].

Como sabemos que [math] \ mathbf y [/ math] es una combinación lineal de columnas de [math] AB [/ math], entonces debe existir algún vector [math] \ mathbf x [/ math] st [math] AB \ mathbf x = \ mathbf y [/ math]. Deje [math] \ mathbf z = B \ mathbf x [/ math], y poniendo [math] \ mathbf z [/ math] a [math] AB \ mathbf x = \ mathbf y [/ math] obtenemos [math ] A \ mathbf z = \ mathbf y [/ math].

Significa que [math] \ mathbf y [/ math] es una combinación lineal de columnas de [math] A [/ math]. [matemáticas] \ cuadrado [/ matemáticas]

Answer 2

Deje que las columnas de [math] AB [/ math] sean [math] c_1 [/ math], [math] c_2 [/ math],…, [math] c_n [/ math]. Por lo tanto, [math] y = \ sum_ {i = 1} ^ {n} a_i * c_i [/ ​​math]. Donde cada [math] a_i [/ ​​math] es un número real (en general es un miembro del campo del espacio vectorial correspondiente).
Si marca entonces [math] \ sum_ {i = 1} ^ {n} a_i * c_i = [c_1, c_2, \ cdots, c_n] \ begin {bmatrix} a_1 \\ a_2 \\\ vdots \\ a_n \ end {bmatrix} [/ math]
[math] y = AB * a [/ math] donde [math] a = \ begin {bmatrix} a_1 \\ a_2 \\\ vdots \\ a_n \ end {bmatrix} [/ math]

por lo tanto, [matemáticas] y = Az [/ matemáticas] donde [matemáticas] z = Ba [/ matemáticas]. Lo que muestra [math] y [/ math] es una combinación lineal de las columnas de [math] A [/ math].