¿Cómo se puede resolver `(D ^ 2 +1) y` de modo que sea igual a` x cosx`?

Answer 1

Este es un DE lineal de segundo orden no homogéneo con coeficientes constantes, por lo que hay una forma muy estándar de resolverlo.

Primero, encuentre la función complementaria: [matemática] u ^ 2 + 1 = 0 [/ matemática], entonces [matemática] u = \ pm i [/ matemática]. Entonces [math] y_ {CF} = a \ cos x + b \ sin x [/ math].

Luego encuentra la integral particular. Por prueba y error, dado que nuestro RHS es [matemática] x \ cos x [/ matemática], necesitamos probar una integral particular de la forma [matemática] y_ {PI} = (Ax ^ 2 + Bx) \ cos x + (Cx ^ 2 + Ex) \ sen x [/ math]. Tenga en cuenta que nos hemos multiplicado por [math] x [/ math] ya que [math] \ cos x [/ math] está presente tanto en el RHS como en la función complementaria.

[matemáticas] y_ {PI} ‘= (2Ax + B) \ cos x – (Ax ^ 2 + Bx) \ sin x + (2Cx + E) \ sin x + (Cx ^ 2 + Ex) \ cos x [/ matemáticas]
[matemáticas] = ((Cx ^ 2 + (2A + E) x + B) \ cos x + (-Ax ^ 2 + (2C – B) x + E) \ sin x. [/ matemáticas]

[matemáticas] y_ {PI} ” = (2Cx + 2A + E) \ cos x – ((Cx ^ 2 + (2A + E) x + B) \ sin x + (-2Ax + 2C – B) \ sin x + (-Ax ^ 2 + (2C – B) x + E) \ cos x [/ math]
[matemáticas] = (-A ^ 2 + (4C – B) x + (2A + 2E)) \ cos x + (-Cx ^ 2- (4A + E) x + (2C-2B)) \ sen x. [/matemáticas]

Entonces [matemáticas] (D ^ 2 + 1) y = (-A ^ 2 + (4C – B) x + (2A + 2E)) \ cos x + (-Cx ^ 2- (4A + E) x + ( 2C-2B)) \ sen x + (Ax ^ 2 + Bx) \ cos x + (Cx ^ 2 + Ex) \ sin x [/ math]
[matemáticas] = (4Cx + (2A + 2E)) \ cos x + (-4Ax + (2C – 2B)) \ sen x = x \ cos x. [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemática] 4C = 1, 2A + 2E = 0, -4A = 0, 2C – 2B = 0. [/ Matemática]
[matemáticas] C = \ frac {1} {4}, A = 0, E = 0, B = \ frac {1} {4}. [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] y_ {PI} = \ frac {1} {4} x (\ cos x + x \ sin x) [/ math]

Así que finalmente

[matemáticas] y = y_ {CF} + y_ {PI} = a \ cos x + b \ sin x + \ frac {1} {4} x (\ cos x + x \ sin x). [/ matemáticas]