Si está tratando con todas las posibles raíces cúbicas de cualquier número, positivas o negativas, debe estar familiarizado con los números complejos y el teorema de DeMoivre. Asumiré que este es el caso, pero si no comprende el funcionamiento, primero deberá estudiar estos temas.
En efecto, debemos encontrar las raíces de la ecuación z ^ 3 = 1
Podríamos escribir esto
z ^ 3-1 = 0 como,
(z-1) (z ^ 2 + z + 1) = 0
y entonces
z = 1 da una raíz, y otras dos son soluciones de la cuadrática z ^ 2 + z + 1 = 0 (estas raíces serán complejas).
Un método más general (aplicable a las raíces cuarta, quinta, etc.) es el siguiente.
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Usando el módulo, forma de argumento de un número complejo
z = r (cos (theta) + i.sin (theta))
Si z = 1, entonces 1 = 1 (cos (2k.pi) + i.sin (2k.pi)) donde k = cualquier número entero.
Tome raíces cúbicas (1) ^ (1/3) = [cos (2k.pi) + i.sin (2k.pi)] ^ (1/3) y, usando el teorema de DeMoivre,
(1) ^ (1/3) = cos (2k.pi / 3) + i.sin (2k.pi / 3)
Si k = 0 z1 = cos (0) + i.sin (0) = 1
si k = 1 z2 = cos (2.pi / 3) + i.sin (2.pi / 3) = -1/2 + i.sqrt (3) / 2
si k = 2 z3 = cos (4.pi / 3) + i.sin (4.pi / 3) = -1/2 – i.sqrt (3) / 2
Si tomamos más valores de k simplemente repetiremos estos valores de z1, z2 y z3.
Si requerimos la cuarta raíz, el método sería idéntico, excepto que dejamos k = 0, 1, 2, 3 en la expresión
1 ^ (1/4) = cos (2k.pi / 4) + i.sin (2k.pi / 4)
y para la quinta raíz
1 ^ (1/5) = cos (2k.pi / 5) + i.sin (2k.pi / 5)
con k que va de 0 a 4.