Si a: b = c: d, ¿cuál es el valor de (a ^ 2 + b ^ 2) / (c ^ 2 + d ^ 2)?

Answer 1

Si bien el álgebra puede encontrar una respuesta, las proporciones y las proporciones tienen sus propias reglas de operación, y se puede encontrar una respuesta al usarlas. Estas reglas se prueban en los Elementos de Euclides, Libro V. Así que responderé esta pregunta para explicar la forma en que Eudoxus (408–355 a. C.) lo habría hecho hace casi 2400 años.

Comenzamos con la proporción [matemáticas] a: b = c: d [/ matemáticas]. Cada proporción tiene algo llamado forma alternativa, y si la proporción es verdadera, entonces también lo es la forma alternativa. La forma alternativa de la proporción [matemática] a: b = c: d [/ matemática] es [matemática] a: c = b: d [/ matemática]. Esta proporción dice que dos razones son iguales. Llame a esa relación [matemáticas] r [/ matemáticas].

Una de las operaciones que puede realizar en relaciones es combinar una con otra, que es esencialmente una relación por la otra. Si combinas una proporción consigo misma, entonces la estás cuadrando. Haga eso con las razones en [matemáticas] a: c = b: d [/ matemáticas] concluya [matemáticas] a ^ 2: c ^ 2 = b ^ 2: d ^ 2 [/ matemáticas]. Esta relación es [matemática] r ^ 2 [/ matemática].

Si tiene una proporción, como [math] w: x = y: z [/ math], puede agregar el antecedente y el consecuente de la segunda relación a los del primero para obtener una relación igual, es decir [math] (w + y) 🙁 x + z) = w: x = y: z [/ matemáticas]. Haga eso con la proporción [matemáticas] a ^ 2: c ^ 2 = b ^ 2: d ^ 2 [/ matemáticas] para concluir que [matemáticas] (a ^ 2 + b ^ 2) 🙁 c ^ 2 + d ^ 2) = a ^ 2: c ^ 2 = b ^ 2: d ^ 2 [/ matemáticas]. En otras palabras, [matemáticas] \ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2 + d ^ 2} [/ matemáticas] es igual a [matemáticas] r ^ 2 [/ matemáticas], el cuadrado de la razón [matemáticas] r = \ dfrac ac = \ dfrac bd [/ matemáticas].

Alguien que estuviera familiarizado con estas reglas de proporciones habría visto de inmediato los tres pasos para llegar a la conclusión. Eso fue todo antes de la invención del álgebra simbólica. Hemos tenido álgebra simbólica durante 500 años y las reglas de las proporciones han retrocedido en la historia.

Answer 2

Para visualizar estas respuestas, imagine un triángulo rectángulo con las patas a y b y otro con las patas correspondientes c y d. Como a ^ 2 + b ^ 2 es el cuadrado de la primera hipotenusa y c ^ 2 + d ^ 2 la segunda, la relación deseada R es simplemente (h1 / h2) ^ 2. Los dos triángulos son similares (por SAS) así que:

R = (h1 / h2) ^ 2 = (a / c) ^ 2 = (b / d) ^ 2

Answer 3

Si a / b = c / d = z
También b / d = a / c
Entonces a = bz c = dz
a ^ 2 + b ^ 2 = b ^ 2 (1 + z ^ 2)
c ^ 2 + d ^ 2 = d ^ 2 (1 + z ^ 2)

a ^ 2 + b ^ 2 /
c ^ 2 + d ^ 2 =
(b / d) ^ 2 = (a / c) ^ 2

Answer 4

Esta sería la respuesta

Answer 5

a: b = c: d
=> (a / b) = (c / d)
=> (a / b) ^ 2 = (c / d) ^ 2
=> a ^ 2 / b ^ 2 = c ^ 2 / d ^ 2
=> (a ^ 2 / b ^ 2) + 1 = (c ^ 2 / d ^ 2) + 1
=> (a ^ 2 + b ^ 2) / b ^ 2 = (c ^ 2 + d ^ 2) / d ^ 2
=> (a ^ 2 + b ^ 2) / (c ^ 2 + d ^ 2) = b ^ 2 / d ^ 2