Para una comprensión intuitiva, considere lo que significaría para una cuenta bancaria pagar intereses compuestos imaginarios. Comienzas con 100 dólares reales, pero cuando has ganado el uno por ciento del interés imaginario, obtienes 1 dólar en tu cuenta imaginaria. Desafortunadamente, el interés imaginario en el dinero imaginario es dinero real negativo. Entonces, a medida que la cuenta imaginaria se acumula, su cuenta real disminuye cada vez más rápido, lo que al menos hace que la cuenta imaginaria se acumule más lentamente. Cuando le quedan 0 dólares reales, todo se convierte a 100i dólares imaginarios, y la cuenta real se vuelve negativa, lo que provoca un interés imaginario negativo que eventualmente erosiona esa cuenta imaginaria de nuevo a cero cuando su cuenta real es -100. Sin embargo, todavía está acumulando dólares imaginarios negativos, pero ahora el interés imaginario sobre los dólares imaginarios negativos genera dinero real positivo, pagando lentamente su deuda real hasta que todo se convierta en deuda imaginaria. Cuando todo es -100i, todavía está ganando dólares reales positivos y el interés sobre ese interés es dinero imaginario positivo hasta que completa el círculo a 100 + 0i dólares. ¿Este patrón parece familiar?
¿Por qué es [matemáticas] e ^ {ix} = \ cos (x) + i \ sin (x) [/ matemáticas]?
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¿Cómo se puede resolver `(D ^ 2 +1) y` de modo que sea igual a` x cosx`?
Queremos derivar una fórmula para [math] e ^ {ix} [/ math] y, por lo tanto, tenga en cuenta lo siguiente:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d ^ 2} {dx ^ 2} e ^ {ix} = \ frac d {dx} es decir ^ {ix} = -e ^ {ix} \ tag * {} [/ math]
Piensa en qué funciones satisfacen
[matemáticas] \ displaystyle f “(x) = – f (x) \ tag {1} [/ matemáticas]
Las dos funciones que se te ocurren deben ser [matemáticas] \ sen x [/ matemáticas] y [matemáticas] \ cos x [/ matemáticas] respectivamente (y comprenden el conjunto único de soluciones)
Por lo tanto tenemos
[matemáticas] \ displaystyle e ^ {ix} = A \ sin x + B \ cos x \ tag {2} [/ matemáticas]
Dado que una combinación lineal de estas dos funciones no cambia la propiedad. Si no desea considerar la “combinación lineal”, piense en esto. Solo necesita saber que [math] A \ sin (x + \ alpha) [/ math] también satisface (1).
Entonces sustituimos [math] x = 0 [/ math], tenemos
[matemáticas] \ displaystyle B = 1 \ etiqueta {3} [/ matemáticas]
[matemáticas] A [/ matemáticas] es un poco más complicado de encontrar.
Considere [matemáticas] e ^ {- ix} [/ matemáticas]. También satisface (1). Sustituyamos [math] x [/ math] como [math] -x [/ math] en (2). Tenemos
[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align} e ^ {ix} & = A \ sin x + \ cos x \\ e ^ {- ix} & = – A \ sin x + \ cos x \ end {align} \ tag * {}[/matemáticas]
Aquí, uso la propiedad [math] \ sin (-x) = – \ sin x [/ math] y [math] \ cos (-x) = \ cos x [/ math].
Multiplicando estos dos juntos tenemos
[matemáticas] \ displaystyle 1 = e ^ {ix} e ^ {- ix} = \ cos ^ 2 xA ^ 2 \ sin ^ 2 x \ tag * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x = -A ^ 2 \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x \ tag * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica A ^ 2 = -1 \ implica A = i \ tag * {} [/ matemáticas]
Por lo tanto,
[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x} \ tag * {} [/ math]
¡La fórmula de Euler ahora se prueba fácilmente!
Piensa en lo que significa [math] e ^ {ax} [/ math]. Es la función única f (x) con [matemáticas] f ‘(x) = af (x) [/ matemáticas] y con f (0) = 1. Ahora mira
[matemáticas] f (x) = \ cos (x) + i \ sin (x) [/ matemáticas]
Evaluar en x = 0 da [matemáticas] \ cos (0) + i \ sin (0) = 1 + 0i = 1 [/ matemáticas], y tomar una derivada da
[matemáticas] f ‘(x) = – \ sin (x) + i \ cos (x) = if (x). [/matemáticas]
Como f (x) cumple ambas condiciones, debe ser [math] e ^ {ix} [/ math].
Carl-Fredrik Brodda señaló que la serie de potencia para [math] e ^ {ix} [/ math] es igual a la serie de potencia para cos (x) más i veces la serie de potencia para sin (x). Esta es la otra cara de la misma moneda. La serie de potencia
[matemáticas] 1 + hacha + a ^ 2x ^ 2/2 + \ cdots + a ^ nx ^ n / n! + \ cdots [/ math]
se evalúa a 1 cuando conecta x = 0, y su derivada (calcular cosas término por término) es
[matemáticas] a + a ^ 2 x + a ^ 3 x ^ 2/2 + \ cdots [/ matemáticas]
que es a veces la función original. Entonces, definir una exponencial a través de una serie de potencias es equivalente a definirla a través de la ecuación diferencial.
El análisis complejo puede ser muy visual si lo desea: considere una partícula que se mueve en el plano complejo [matemática] C [/ matemática] con la función de posición [matemática] X (t) = e ^ {i * t} [/ matemática ] Se pregunta por qué el componente real de esta función de posición es siempre [matemática] \ cos {t} [/ matemática], y por qué la parte imaginaria de su posición siempre es igual a [matemática] \ sin {t} [/ matemática] – si esto es cierto, necesariamente implica que el argumento (ángulo) de esta función es siempre [matemática] t [/ matemática] en [matemática] C [/ matemática] definida hacia arriba desde el eje real positivo. Para demostrar esto visualmente, mostraremos que (i) [matemáticas] X (t) [/ matemáticas] siempre tiene la unidad de longitud 1 y (ii) [matemáticas] Arg (X (t)) [/ matemáticas] es siempre t – en otras palabras, es el círculo unitario en el plano complejo.
(yo)
Deje [math] C = \ cos {t} [/ math] y [math] S = \ sin {t} [/ math]. Entonces,
[matemáticas] \ frac {d} {dt} C = C ‘= – S [/ matemáticas] y [matemáticas] \ frac {d} {dt} S = S’ = C [/ matemáticas]
Entonces, usando la regla del paralelogramo de la suma de vectores (que se aplica muy bien al plano complejo) y la prueba de la serie de potencia de que [math] e ^ {i * t} [/ math] es una suma de dos series trigonométricas, podemos decir:
[matemáticas] e ^ {i * t} = Re (e ^ {i * t}) + Im (e ^ {i * t}) = \ cos {t} + i * \ sin {t} = C + i * S [/ matemáticas]
que forma un triángulo rectángulo con un ángulo de inclinación arbitrario [math] t [/ math]. En este triángulo [matemáticas] \ cos {t} [/ matemáticas] es la pierna adyacente, [matemáticas] i * \ sin {t} [/ matemáticas] es la pierna opuesta, y [matemáticas] e ^ {i * t} [/ math] es la hipotenusa.
Ahora podemos aplicar el teorema de Pitágoras para encontrar la magnitud de las patas entre sí en cualquier ángulo t:
[matemáticas] (e ^ {i * t}) ^ 2 = C ^ 2 + S ^ 2 [/ matemáticas]
(suelte [math] i [/ math] en S porque se trata de magnitudes y la multiplicación por [math] i [/ math] es solo una rotación en el plano complejo)
Y si tomamos la derivada de cada lado con respecto a [math] t [/ math] para ver cómo cambia la magnitud (longitud) con respecto al tiempo, encontramos que el lado derecho de la ecuación es idénticamente cero:
[matemáticas] \ frac {d} {dt} (C ^ 2 + S ^ 2) = 2 (C * C ‘+ S * S’) = 2 (C * -S + S * C) = 2 * (0 ) = 0 [/ matemáticas]
entonces [matemáticas] \ frac {d} {dt} (e ^ {i * t}) ^ 2 = 0 [/ matemáticas], o la magnitud de [matemáticas] e ^ {i * t} [/ matemáticas] no cambiar con respecto al tiempo. Debido a que su magnitud en [matemática] t = o [/ matemática] es [matemática] 1 [/ matemática], hemos demostrado geométricamente que siempre debe tener una unidad de longitud [matemática] 1 [/ matemática].
(ii)
Ahora deje que [math] \ theta = Arg (e ^ {i * t}) [/ math], entonces theta es el argumento (ángulo) de [math] e ^ {i * t} [/ math] en el plano complejo . Deseamos mostrar que [math] \ theta [/ math] es igual a [math] t [/ math], y una forma de mostrar esto es mostrar que:
[matemáticas] \ tan \ theta = \ dfrac {\ sin {t}} {\ cos {t}} = \ dfrac {S} {C} [/ matemáticas]
así que tomemos la derivada de cada lado con respecto a [math] t [/ math] y veamos que muestra su igualdad:
[matemáticas] \ frac {d} {dt} \ tan \ theta = (1 + {\ tan \ theta} ^ 2) * {\ theta} ‘= {\ sec \ theta} ^ 2 * {\ theta}’ = \ dfrac {{\ theta} ‘} {C ^ 2} [/ math]
[matemáticas] \ frac {d} {dt} \ dfrac {S} {C} = \ dfrac {S ‘* CC’ * S} {C ^ 2} = \ dfrac {S ^ 2 + C ^ 2} {C ^ 2} = \ dfrac {1} {C ^ 2} [/ matemáticas]
Entonces obtenemos
[matemáticas] \ dfrac {{\ theta} ‘} {C ^ 2} = \ dfrac {1} {C ^ 2} [/ matemáticas]
y si cancelamos los cosenos en cada lado nos queda
[matemáticas] {\ theta} ‘= 1 [/ matemáticas]
Separar e integrar ambos lados da
[matemáticas] \ theta = t + C [/ matemáticas]
y aquí sub en la condición inicial [math] \ theta (0) = 0 [/ math] para obtener nuestro resultado final:
[matemáticas] \ theta = t [/ matemáticas]
mostrando que el argumento (ángulo) de [math] e ^ {i * t} [/ math] siempre es solo [math] t [/ math].
Mostrar estas dos cosas como verdaderas geométricamente en el plano complejo significa que [math] e ^ {i * t} [/ math] debe ser el círculo unitario en el plano complejo, o la suma de [math] \ cos {t} [/ math] a lo largo del eje real y [math] \ sin {t} [/ math] a lo largo del eje imaginario; en resumen, muestra que
[matemáticas] e ^ {i * t} = \ cos {t} + i * \ sin {t} [/ matemáticas]
Recordemos las identidades trigonométricas:
[matemáticas] cos \; (\ theta_1 + \ theta_2) = cos \; \ theta_1.cos \; \ theta_2 – sin \; \ theta_1.sin \; \ theta_2 [/ math]
[matemáticas] sin \; (\ theta_1 + \ theta_2) = sin \; \ theta_1.cos \; \ theta_2 + cos \; \ theta_1.sin \; \ theta_2 [/ math]
Ahora hagamos una multiplicación compleja:
[matemáticas] (cos \; \ theta_1 + i.sin \; \ theta_1) (cos \; \ theta_2 + i.sin \; \ theta_2) = (cos \; \ theta_1.cos \; \ theta_2 – sin \; \ theta_1.sin \; \ theta_2) + i (sin \; \ theta_1.cos \; \ theta_2 + cos \; \ theta_1.sin \; \ theta_2) [/ math]
Utilizamos el hecho [matemáticas] i ^ 2 = -1 [/ matemáticas], por lo que tenemos:
[matemáticas] (cos \; \ theta_1 + i.sin \; \ theta_1) (cos \; \ theta_2 + i.sin \; \ theta_2) = cos \; (\ theta_1 + \ theta_2) + i.sin \; ( \ theta_1 + \ theta_2) [/ math]
Y por lo tanto:
[matemáticas] (cos \; x + i.sin \; x) (cos \; x + i.sin \; x) = cos \; 2x + i.sin \; 2x [/ math]
Usando la inducción, puedes probar que:
[matemáticas] (cos \; x + i.sin \; x) ^ n = cos \; nx + i.sin \; nx [/ math]
Probamos la identidad para el caso donde [math] n [/ math] era un número entero positivo, pero esto es válido para el caso cuando [math] n [/ math] es negativo, e incluso si [math] n [/ math] es un número racional (de la forma [matemática] n = p / q [/ matemática]), y también si es irracional. Esto se puede probar por separado.
Usemos el teorema binomial para expandir:
[matemáticas] (cos \; (\ frac {x} {n}) + i.sin \; (\ frac {x} {n})) ^ n = cos ^ n \; (\ frac {x} {n }) + {n \ elegir 1} .cos ^ {n-1} \; (\ frac {x} {n}). sin \; (\ frac {x} {n}) + \; \ cdots \; + i ^ k. {n \ elegir k} .cos ^ {nk} \; (\ frac {x} {n}). sin ^ k \; (\ frac {x} {n}) + \; \ cdots [/ math]
[matemáticas] = cos ^ n \; (\ frac {x} {n}) + i. {n \ elegir 1}. (\ frac {x} {n}). cos ^ {n-1} \; ( \ frac {x} {n}). \ frac {sin \; (\ frac {x} {n})} {(\ frac {x} {n})} + \; \ cdots \; + i ^ k. {n \ choose k}. (\ frac {x} {n}) ^ k.cos ^ {nk} \; (\ frac {x} {n}). (\ frac {sin \; (\ frac {x} {n})} {(\ frac {x} {n})}) ^ k + \; \ cdots [/ math]
y dejemos que [math] n [/ math] tienda a [math] \ infty [/ math], obtenemos:
[matemáticas] = 1 + i.x + \ cdots + \ frac {(ix) ^ k} {k!} + \ cdots [/ math]
[matemáticas] = e ^ {ix} [/ matemáticas]
Utilizamos los siguientes resultados hermosos: [matemáticas] \ lim _ {\ theta \ a 0} \ frac {sin \; \ theta} {\ theta} = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty } (1 + \ frac {1} {n}) ^ n = e [/ matemáticas], y no tan extraordinario [matemáticas] \ lim _ {\ theta \ a 0} cos \; \ theta = 1 [/ matemáticas] y
[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {n \ choose k} {n ^ k} = \ frac {1} {k!} [/ math]
Ya que
[matemáticas] (cos \; (\ frac {x} {n}) + i.sin \; (\ frac {x} {n})) ^ n = (cos \; x + i.sin \; x) [/matemáticas]
obtenemos:
[matemáticas] (cos \; x + i.sin \; x) = e ^ {ix} [/ matemáticas]
Quod Erat Demonstrandum [QED]
He visto muchas pruebas de esto, pero tengo un favorito personal:
Deje [math] z = \ cos {x} + i \ sin {x} [/ math]. Tomemos la derivada con respecto a [math] x [/ math]:
[matemáticas] z ‘= – \ sin {x} + i \ cos {x} [/ matemáticas]
[matemáticas] z ‘= i ^ 2 \ sin {x} + i \ cos {x} [/ matemáticas]
[matemáticas] z ‘= (\ cos {x} + i \ sin {x}) i = zi [/ matemáticas]
Reorganizando:
[matemáticas] \ frac {z ‘} {z} = i [/ matemáticas]
Integrando ambos lados con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas]:
[matemáticas] \ ln | z | + C_1 = ix + C_2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ ln | z | = ix + C_3 [/ matemáticas]
[matemáticas] | z | = C_4e ^ {ix} [/ matemáticas]
[matemáticas] z = \ pm C_4e ^ {ix} = Ce ^ {ix} [/ matemáticas]
Sustituyendo en la definición original de [math] z [/ math]:
[matemáticas] Ce ^ {ix} = \ cos {x} + i \ sin {x} [/ matemáticas]
¡Estamos tan cerca! Solo necesitamos encontrar [matemáticas] C [/ matemáticas]. Sustituir [matemática] x = 0 [/ matemática]:
[matemáticas] Ce ^ {i0} = Ce ^ 0 = C = \ cos {0} + i \ sin {0} = 1 + i0 = 1 + 0 = 1 [/ matemáticas]
Y entonces:
[matemáticas] \ bbox [#FFA] {\ boxed {e ^ {ix} = \ cos {x} + i \ sin {x}}} [/ math]
Consideremos la ecuación:
[matemáticas] f ” + f = 0 [/ matemáticas]
Esta es una ecuación diferencial lineal de grado 2. Entonces sabemos que la solución general tiene dos grados de libertad.
Por un lado, podemos notar que [math] \ cos [/ math] y [math] \ sin [/ math] son soluciones de la ecuación. Por lo tanto, la solución general de esta ecuación es:
[matemáticas] f (x) = A \ cos x + B \ sen x [/ matemáticas].
También tenemos: [matemáticas] f ‘(x) = -A \ sin x + B \ cos x [/ matemáticas]
Por otro lado, también podemos notar que [math] e ^ {ix} [/ math] también es una solución de esta ecuación. Por lo tanto, existe [math] A, B \ in \ mathbb {C} [/ math], como
[matemáticas] \ left \ {\ begin {array} {l} e ^ {ix} = A \ cos x + B \ sin x \\ ie ^ {ix} = -A \ sin x + B \ cos x \ end {array} \ right. [/ math]
Al identificar ambas ecuaciones para [matemática] x = 0 [/ matemática], obtenemos [matemática] A = 1 [/ matemática] y [matemática] B = i [/ matemática].
Por lo tanto, [math] e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x [/ math].
Esto puede responderse utilizando la expansión de Taylor de cada término.
[matemáticas] e ^ {ix} = 1 + ix – \ frac {x ^ 2} {2!} – i \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 4} {4!} + i \ frac {x ^ 5} {5!} – \ dots [/ math]
[matemáticas] i \ sin x = ix – i \ frac {x ^ 3} {3!} + i \ frac {x ^ 5} {5!} – \ dots [/ math]
[matemáticas] \ cos x = 1 – \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 4} {4!} – \ puntos [/ matemáticas]
Es fácil ver que la condición [matemáticas] e ^ {ix} = \ cos x + i \ sen x [/ matemáticas] sigue las ecuaciones anteriores.
Deje [math] z = \ cos x + i \ sin x [/ math]
Entonces,
[matemáticas] \ dfrac {dz} {dx} = – \ sen x + i \ cos x [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {dz} {dx} = i (i \ sin x + \ cos x) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {dz} {dx} = iz [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {dz} {z} = i.dx [/ matemáticas]
Integrando ambos lados,
[matemáticas] \ ln [/ matemáticas] [matemáticas] z = ix + c [/ matemáticas]
Vea que en [matemáticas] x = 0, z = 1 \ implica \ ln z = 0 [/ matemáticas]
Por lo tanto, [matemática] c = 0 [/ matemática]
Entonces ,
[matemáticas] \ ln z = ix [/ matemáticas]
[matemáticas] z = e ^ {ix} [/ matemáticas]
QED
Podemos probarlo usando la expansión Tailor:
[matemáticas] e ^ {ix} = 1 + \ frac {ix} {1!} + \ frac {(ix) ^ 2} {2!} + \ frac {(ix) ^ 3} {3!} +… = \ bigg (1 – \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 4} {4!} – \ frac {x ^ 6} {6!} +… \ bigg) + i \ bigg (\ frac {x} {1!} – \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 5} {5!} – \ frac {x ^ 7} {7!} +… \ bigg )[/matemáticas]
[matemáticas] cos (x) = 1 – \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 4} {4!} – \ frac {x ^ 6} {6!} +… [/ matemáticas ]
[matemáticas] sin (x) = \ frac {x} {1!} – \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 5} {5!} – \ frac {x ^ 7} { 7!} +… [/ Matemáticas]
Por lo tanto: [matemáticas] e ^ {ix} = cos (x) + isin (x) [/ matemáticas]
[matemáticas] f (x) = \ dfrac {\ cos x + i \ sin x} {e ^ {ix}} [/ matemáticas]
[matemáticas] f (0) = \ dfrac {1 + i \ cdot 0} {e ^ 0} = 1 [/ matemáticas]
Recordar [matemáticas] d (\ frac uv) = (vdu – udv) / v ^ 2. [/ Matemáticas]
[matemáticas] f ‘(x) = \ dfrac {e ^ {ix} (- \ sen x + i \ cos x) – (\ cos x + i \ sin x) (es decir, ^ {ix})} {e ^ {2ix}} [/ matemáticas]
[matemáticas] f ‘(x) = \ dfrac {(- \ sin x – – \ sin x) + i (\ cos x – \ cos x)} {e ^ {ix}} = \ dfrac {0} {e ^ {ix}} = 0 [/ matemáticas]
Si [math] f ‘(x) [/ math] siempre es cero, [math] f (x) [/ math] debe ser constante:
[matemáticas] f (x) = f (0) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {\ cos x + i \ sin x} {e ^ {ix}} = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] {e ^ {ix}} = {\ cos x + i \ sin x} [/ matemáticas]
e ^ (ix) = cos (x) + isin (x) porque cuando expanda y reorganice ambos lados, encontrará que ambos lados tienen los mismos valores.
Aquí está la ilustración.
e ^ (ix) = 1 + ix + (ix) ^ 2/2! + (ix) ^ 3/3! + (ix) ^ 4/4! + …….
= 1 + ix -x ^ 2/2! -i (x) ^ 3/3! + x ^ 4/4! +… ..
= (1-x ^ 2/2! + X ^ 4/4! +….) + I (xx ^ 3/3! + X ^ 5/5! + ……)
= cos (x) + isin (x)
Esto es tan simple como la suma de a y b.
¿Por qué es [matemáticas] e ^ {ix} = \ cos (x) + i \ sin (x) [/ matemáticas] ?
Discuto y deduzco la Fórmula de Euler en el siguiente artículo:
- La ecuacion
que sigue de una pieza anterior:
- Numero de Euler
que a su vez introduce la función exponencial.
La respuesta más simple si comprende algunos conceptos más avanzados es que ambos satisfacen la ecuación diferencial
[matemáticas] y ‘= iy [/ matemáticas]
con valor inicial
[matemáticas] y (0) = 1 [/ matemáticas].
si puedes deberías comprobar esto tú mismo.
El teorema de existencia y unicidad de Picard-Lindeloff nos dice que solo puede haber una de esas funciones, de ahí la igualdad.
Esta es una aplicación de la serie Taylor. Ver pág. 10 en las notas a continuación:
https://sites.google.com/site/barriosalex/teaching/s14-162/formulas.pdf
Quizás pueda proponer una demostración parcial hecha por la Serie Fourier.
La identidad de Eulero establece que e ^ (phi • i) + 1 = 0 por lo que f (x) = e ^ x escrito en campo complejo tiene dos funciones escalares cosx y sinx
Gracias a la aprobación de Fourier se puede escribir f (x) = Acosx + Bsinx donde
A = 1 • int [0-> 2phi] e ^ ix • cosxdx = 1
B = 1 • int [0-> 2phi] e ^ ixsinxdx = i y así
e ^ ix = cosx + isinx
Es fantástico que Euler haya escrito la identidad sin demostración y sin conocimientos del análisis moderno. De hecho, es considerado uno de los padres del cálculo diferencial y analítico.
¿Por qué 17 más 23 es igual a 40?
La respuesta a eso es la misma que a su pregunta. Así es como lo definimos, así de simple.
Para una respuesta más fundamental, tanto las funciones exponenciales como las funciones trigonométricas describen rotaciones en un plano 2D.
En realidad es bastante simple.
Use la expansión de la serie Taylor de e ^ ix y luego agrupe todos los términos con y sin i. Notarás que el grupo sin i es equivalente a la expansión del coseno de la serie Taylor y el grupo con i es la expansión del seno de la serie Taylor.
Lo sorprendente es que e, i y cos / sin se desarrollaron matemáticamente en diferentes momentos, pero hay una ecuación que los relaciona a todos. Es bastante hermoso, de verdad.
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