¿Por qué [math] .5! [/ Math] tiene un valor?

Answer 1

Esta pregunta tiene que ver con algo llamado la función Gamma. La función gamma (Γ ( x )) es una extensión de la función factorial normal, que puede continuar analíticamente para reflejar valores para todos los números complejos (excepto en enteros negativos).

Como está escrito en Wikipedia, es la respuesta a un problema de interpolación considerado por Euler en el siglo XVIII: “¡Encuentre una curva suave que conecte los puntos ( x , y ) dados por y = ( x – 1) en los valores enteros positivos! para x “.

Fig. 1. ¿ Conectar los puntos? Esa es esencialmente la pregunta aquí … ¡la razón por la que podemos encontrar (0.5)! es porque existe una línea suave que conecta todos estos puntos.

Esta curva suave, naturalmente, incluye no enteros, así como los puntos enteros normales (función factorial).

¡Es a través de una integral (también el trabajo de Euler) que podemos calcular ( 0.5 )!
Sin embargo, el valor tiene menos que ver con la función factorial (que por supuesto solo está destinada a los enteros), y más que ver con un subproducto de la función gamma.

La función gamma tiene una representación integral, que se parece a:

En términos generales Γ ( x + 1) = ( x )!

Si dejamos t = 1.5, entonces encontramos que:

Γ (1.5) = [matemáticas] \ int_ {0} ^ {\ infty} {x ^ {\ left (1.5-1 \ right)} e ^ {- x} \; dx} [/ matemáticas]

Que se evalúa como: [matemáticas] \ frac {\ sqrt {π}} {2} [/ matemáticas] ~ 0.886