Gracias por A2A, Tejas. Acabo de responder a tu última pregunta sobre las probabilidades de que ciertos triángulos sean incorrectos y ya tienes uno nuevo 🙂
La respuesta son los últimos tres dígitos del número [math] 1 +2012 \ cdot 2013. [/ Math]
Para [matemáticas] n = 2013 [/ matemáticas] considere [matemáticas] f (x) = (x + 2) ^ {n} -1. [/ Matemáticas] (*)
Tiene [matemática] n [/ matemática] diferentes soluciones dadas por [matemática] z_i = -2 + \ zeta_ {n} ^ {i}, [/ matemática] donde [matemática] i = 0, \ ldots n-1 [ / math] y [math] \ zeta_ {n} [/ math] es una enésima raíz primitiva de la unidad.
- Si [matemática] x ^ 2 + x = 5 [/ matemática], ¿cuál es el valor de [matemática] (x + 3) ^ 3 + \ frac {1} {(x + 3) ^ 3} [/ matemática ]?
- ¿Por qué 0 ^ 0 = 1 y 0 ^ 1 = 0?
- ¿Por qué [math] .5! [/ Math] tiene un valor?
- ¿Por qué es [matemáticas] e ^ {ix} = \ cos (x) + i \ sin (x) [/ matemáticas]?
- Si a: b = c: d, ¿cuál es el valor de (a ^ 2 + b ^ 2) / (c ^ 2 + d ^ 2)?
Entonces la condición [matemáticas] f (f (x)) = 0 (+) [/ matemáticas] es equivalente a
[matemáticas] \ displaystyle {P (x): = \ prod_ {i = 0} ^ {n-1} \ left (f (x) -z_i \ right) = 0.} [/ math]
¿Cuántas soluciones diferentes tiene (+)? Bueno, [matemática] z_0 = -1 [/ matemática] y la ecuación [matemática] (x + 2) ^ {n} -1 = z_0 [/ matemática] tiene exactamente una solución [matemática] x = -2. [/ matemáticas]
Los otros polinomios [matemáticos] n-1 [/ matemáticos] de grado [matemático] n [/ matemático] tienen como máximo [matemático] n [/ matemático] raíces distintas cada uno. Entonces, esta ecuación tiene como máximo [matemáticas] 1 + (n-1) n [/ matemáticas] raíces distintas.
De hecho, demostremos que hay exactamente [matemáticas] 1 + (n-1) n [/ matemáticas] raíces distintas por la siguiente razón simple.
Por ahora [math] f [/ math] es arbitrario de grado [math] n [/ math].
Dado que [math] z_i [/ math] son distintas en pares, los conjuntos de soluciones [math] f (x) = z_i [/ math] son disjuntos en pares.
Suponga que [math] x_1, x_2, \ ldots x_s [/ math] son raíces repetidas de [math] P (x) = \ prod_ {i = 0} ^ {n-1} \ left (f (x) -z_i \ right) [/ math] con multiplicidades [math] m_1, m_2, \ ldots m_s [/ math] respectivamente.
Entonces, el número de raíces distintas de esta ecuación de grado [matemática] n ^ 2 [/ matemática] es [matemática] n ^ 2 – (m_1-1) – (m_2-1) – \ ldots – (m_s-1). [/matemáticas]
Por otro lado, cada [matemática] x_k [/ matemática] es una raíz repetida de precisamente una [matemática] f (x) -z_i [/ matemática]. Entonces [math] x_k [/ math] es una raíz de la derivada [math] (f (x) -z_i) ‘= f’ (x) [/ math] con multiplicidad [math] m_k-1. [/ Math]
Sin embargo, [matemática] f ‘[/ matemática] es un polinomio de grado [matemático] n-1, [/ matemático] entonces [matemático] m_1-1 + m_2-1 + \ ldots + m_s-1 \ leq n-1 .[/matemáticas]
Implica que el número de raíces distintas de [matemáticas] P [/ matemáticas] es mayor o igual que [matemáticas] n ^ 2- (n-1) = 1+ (n-1) n. [/ Matemáticas]
Este es un límite exacto como hemos mostrado considerando (*).
Dejo la determinación de los últimos tres dígitos del número [matemática] 1+ 2013 \ cdot 2012 [/ matemática] (cálculo [matemática] \ mod 1000 [/ matemática]) como un ejercicio para el lector.
Finalmente, parece ser una de las preguntas de matemáticas más populares de Quora, y muchos jóvenes de Corán casi creen que debe ser el problema fundamental de las matemáticas modernas.
Sugiero también una lectura adicional sobre los puntos de ramificación en relación con este problema.