¿Por qué 0 ^ 0 = 1 y 0 ^ 1 = 0?

Answer 1

Solía ​​haber mucho debate sobre cómo deberíamos definir [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas]. Hoy en día, la convención que seguimos es que [matemáticas] 0 ^ 0 = 1 [/ matemáticas]. Aquí hay algunas razones por las cuales:

• Debemos tener [matemática] 0 ^ 0 = 1 [/ matemática] para que el teorema binomial se mantenga para todos los valores de [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática]. Sin esta convención tendríamos que estipular que [math] x \ neq 0 [/ math], [math] y \ neq 0 [/ math] y [math] xy \ neq 0 [/ math].
• Usando la convención de que [matemática] 0 ^ 0 = 1 [/ matemática] hace que la notación sigma de muchas sumas sea mucho más limpia y compacta. En particular, la serie Taylor como [math] \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (Xa) ^ n [/ math], en cambio de [matemáticas] f (a) + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (xa) ^ n [/ matemáticas]. (Nota: esta es también una razón por la que definimos [matemática] 0! = 1 [/ matemática])
• La expresión [matemática] 0 ^ 0 [/ matemática] es un producto vacío, y los productos vacíos son iguales a [matemática] 1 [/ matemática] por convención.

[matemáticas] 0 ^ 1 = 0 [/ matemáticas] es fácil. La exponenciación por un entero positivo se define simplemente como multiplicación repetida. Así que calcule [math] a ^ n [/ math], donde [math] a \ in \ mathbb {R} [/ math] y [math] n \ in \ mathbb {Z} ^ + [/ math] toma [ matemáticas] n [/ matemáticas] copias de [matemáticas] a [/ matemáticas] y multiplíquelas todas juntas. En el caso específico de [math] 0 ^ 1 [/ math], tiene una copia única de [math] 0 [/ math] y la multiplica y solo tiene [math] 0 [/ math]. Por esta misma razón, cualquier número elevado a uno es igual a sí mismo (es decir, [matemática] a ^ 1 = a [/ matemática])

Answer 2

Primero de todo 0 ^ 1 es siempre cero. Eso es trivial.

Pero 0 ^ 0 = 1 si ambos ceros tienden a ceros o cero en la potencia es cero exacto (los ceros exactos y de tendencia provienen del capítulo LÍMITE y CONTINUIDAD).

Caso 1: cuando el cero en la potencia es exactamente cero

Deje y = 0 ^ 0

Tomando registro (con base 10) ambos lados

log (y) = log (0 ^ 0)

Por propiedad de registro log (a ^ b) = b * log (a)

Por lo tanto log (y) = 0 * log (0)

Ahora, dado que cero en la potencia es exactamente cero, por lo tanto, aquí se define log (0) y es igual a un número negativo muy grande (es decir, tiende a menos infinito)

Pero dado que el cero exacto se multiplica por un número negativo muy grande, por lo tanto, RHS es exactamente cero

implica log (y) = 0

lo que implica y es igual a 1.

QED

Caso 2: ambos ceros tienden a ceros

Considere f (x) = x ^ x.

Podemos escribir x ^ x = e ^ (x * ln (x)) = e ^ (ln (x) / (x ^ -1)) (es decir, ln (x) dividido por x a la potencia menos 1 y donde e es 2.71828 y ln es iniciar sesión en la base e)

Aplicar límite x-> 0

Por la expresión de la regla del hospital e ^ (ln (x) / (x ^ -1)) es igual a e ^ (- 1 * (x ^ -1) / (x ^ -2)) que es igual a e ^ ( -X)

Por lo tanto, lim x-> 0 f (x) es igual a lim x-> 0 e ^ (- x). Por lo tanto, f (x) va a 1.

QED

MathsRocks

Answer 3

Algo, digamos n; elevado a la potencia de algún número, digamos a, significa que el número a se multiplica n veces.
Por ejemplo :
a⁴ = a * a * a * a

Ahora en este caso,
0¹ = 0.
Y 1 ^ 0 = 1.
Cuando un número se eleva a la potencia 0, en realidad no estamos multiplicando el número particular por 0. Por ejemplo, tomemos 2 ^ 0. En este caso, no estamos multiplicando el número 2 por 0.

Definimos 2 ^ 0 = 1, de modo que cada potencia de 2 es un factor de 2 mayor que el anterior, por ejemplo, 1,2,4,8,16,32 …
Esto implica las reglas de los exponentes, particularmente la división.

Si a es un número yx e y también son números, entonces, de acuerdo con la regla de división para potencias con la misma base,

a ^ x / a ^ y = a ^ (x – y).

Dice que el cociente de dos potencias con la misma base es igual a la base común elevar al exponente igual a la diferencia entre x e y.

Entonces, si x = y, entonces a ^ x / a ^ y = a ^ (x -y) = a ^ 0

Pero a ^ x es igual a a ^ y, ya que x = y; por lo tanto a ^ x / a ^ y = 1

Por lo tanto, por propiedad transitiva de la igualdad,

a ^ 0 = 1

Por lo tanto, este resultado dice que el número elevado a la potencia cero es igual a 1.

Answer 4

Parece que por “0 ^ 0” se refiere a “cero elevado a la potencia cero” y por “0 ^ 1” se refiere a “cero elevado a la primera potencia”. Mi respuesta es que cada uno es por definición. Cualquier número elevado al poder zeroth se define como Uno. Tenga en cuenta que esto es consistente con los lugares en cualquier número expresados ​​como un decimal; en cualquier base, el primer dígito a la izquierda del punto decimal es la base elevada a la potencia cero, y siempre se llama el “lugar de las unidades”. Además, por definición, cualquier número (“base”) elevado a la primera potencia es ese número [base] en sí mismo. Por ejemplo, en la base 10, el segundo lugar a la izquierda del punto decimal es el “lugar de las decenas”; esa ubicación se evalúa como 10 ^ 1 veces el dígito apropiado (cero a nueve, para la base 10) que se expresa / evalúa. Como otro ejemplo, en la base 2, el segundo lugar a la izquierda del punto decimal es el “lugar de dos”; esa ubicación se evalúa como 2 ^ 1 veces el dígito apropiado (cero a uno, para la base 2) que se expresa / evalúa. Continúe observando que en cada base, cada lugar es ese número base elevado a valores incrementales a la izquierda y valores decrecientes a la derecha, por ejemplo, para la base 10, 10 ^ 2, 10 ^ 3, 10 ^ 4, etc. a la izquierda y 10 ^ -1, 10 ^ -2, 10 ^ -3, etc. a la derecha y para la base 2, 2 ^ 2, 2 ^ 3, 2 ^ 4, etc. a la izquierda y 2 ^ -1, 2 ^ -2, 2 ^ -3, etc. a la derecha.
Todo lo mejor
Oxidado

Answer 5

De las reglas del exponente que conocemos, a ^ n = a * a * a * a * a ……… n veces

entonces a ^ 1 = a si a = 0 entonces 0 ^ 1 = 0

Nuevamente sabemos que a ^ (mn) = a ^ m / a ^ n , a no es igual a cero

entonces si m = n entonces a ^ 0 = 1

PERO para a = 0 las cosas son diferentes. porque 0 ^ 0 es indeterminado. Porque en realidad no sabemos cuál es la respuesta exacta para esto debido a que tenemos muchos resultados para esto. Déjenme explicar,

pensemos por esta analogía que,

0 ^ 1 = 0

0 ^ 2 = 0

………….

………….

entonces, podemos decir 0 ^ 0 = 0

De nuevo, otra analogía,

1 ^ 0 = 1

2 ^ 0 = 1

…………

……… ..

entonces, podemos decir 0 ^ 0 = 1

Ahora, ves que es confuso. Cada análogo es matemáticamente correcto, entonces cuál es la respuesta correcta para 0 ^ 0, por lo tanto, las matemáticas no pueden determinar este hecho.

Entonces, 0 ^ 0 es indeterminado

para consultas adicionales, por favor mire este sitio

Forma indeterminada

Answer 6

Trataré de responder esta pregunta, aunque Jorge Sawyer ya ha dado una respuesta bastante buena.

“1 es para multiplicar lo que 0 es para sumar”. Necesita esa definición básica de ‘1’ para que funcionen las potencias y exponenciales.
Un exponencial o una potencia se “define” como [matemática] a ^ n [/ matemática] es “a” multiplicada “n” veces.
[matemáticas] a ^ m + 1 = a ^ m * a [/ matemáticas]
o [matemáticas] a ^ m-1 = \ frac {a ^ m} {a} [/ matemáticas]

por esta lógica para cualquier número dado
[matemáticas] a ^ 0 = \ frac {a ^ 1} {a} [/ matemáticas]
[matemáticas] a ^ 0 = 1 [/ matemáticas]

0 es un caso especial en el que 0 o 1 pueden ser la respuesta para [matemáticas] 0 ^ 0 [\ matemáticas] pero al seguir la misma convención se obtiene mucha uniformidad y se simplifican varias anotaciones matemáticas al no tener que especificar condiciones como lo que Jorge Sawyer ha mencionado.