Ax + por = c. ¿Cómo puedo encontrar cuántas soluciones tiene esta ecuación si pongo un rango en x e y?

Answer 1

¿Puedo suponer que está buscando soluciones “enteras”? De lo contrario, lo más probable es que haya soluciones infinitas.

Entonces, si desea soluciones integrales, un método es, por supuesto, prueba y error.
Digamos 5x – 2y = 3, con x en [-5,8] ey en [-3,10]. Solo inventando algo al azar.

Primero y principal, Método 0 :
ir al motor de conocimiento computacional (Wolfram)
pregunte: “¿Cuánta solución entera para 5x-2y = 3 con -5 <x <8, -3 <y <10"
La respuesta surgió de inmediato.

Ahora, los métodos antiguos …

Método 1 :
Primero estudiemos los casos límite: cuando
x = -5, y = -14 y es demasiado pequeño
x = 8, y = 37/2 = 18.5 y es demasiado grande.
Y cuando
y = -3, x = -3/5 = -0.6, (esto nos dice que no es necesario probar x <0)
y = 10, x = 23/5 = 4.6 (esto nos dice a uno para intentar x> 4)

De acuerdo, con estas guías, es seguro comenzar a intentar
x = 0 -> y = -3/2 no entero
x = 1 -> y = 1 bingo
x = 2 -> y = 7/2 (a estas alturas, deberías notar que y aumenta en 5/2 cada vez, ¿verdad?)
x = 3 -> y = 6 bingo II
x = 4 -> no funciona.

Método 2 : en lugar de prueba y error, observe que la pendiente es 5/2 en este caso. Por lo tanto, debe aumentar x en 2 cada vez para obtener otra solución integral. Esto puede eliminar la prueba y el error, aunque aún necesita usar la prueba y el error para encontrar el primer valor.

Método 3 : También puede probar el método gráfico: trace L: Ax + By = C en un gráfico, dibuje el cuadro para el rango xey, y cuente cuántas veces la línea L está justo en el punto.

Método 4 (Esto no es tan antiguo, solo los tiempos del Renacimiento): cualquier programación para / while loops lo hará rápidamente.

Espero que esto ayude.

Answer 2

Tomemos una ruta gráfica . Asumiré que A, byc son números reales y x e y también.

Ahora tome b para ser distinto de cero. Puede reescribir esto como y = – (A / b) x + (c / b) y dibujar una línea en el plano (x, y). Si b es 0 y A no es cero, podemos dibujar la línea x = c / A en su lugar (una línea vertical) y si tanto b como A son 0, entonces c es 0 y la ecuación siempre es verdadera (0 = 0) o c es distinto de cero y siempre es falso.
Entonces, después de tirar estos casos triviales , terminas con una línea en el plano (x, y) .

Poner un rango en x e y probablemente significa algo como x_1 Este es un cuadrado lleno en el plano (x, y). Puede dibujarlo y ver si la línea lo intersecta. Si es así, tiene infinitas soluciones, si no es así, 0 soluciones.