¿Qué se entiende por polinomios son exactos hasta el grado 2 o 3 en interpolación y cuál es el orden de la regla 1/3 de Simpson y cómo verificarlo?

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No entraré en las ecuaciones y fórmulas, pero intentaré dar una imagen conceptual. Puedes ver las ecuaciones de la regla de Simpson.

La integración numérica puede considerarse como un problema para encontrar el área bajo una determinada curva. A veces, resolver integrales numéricas usando una ecuación de forma cerrada puede no ser fácil. En tales situaciones, los métodos aproximados como la regla trapezoidal, la regla 1/3 de Simpson y muchos otros son muy útiles.

Primero veamos la regla trapezoidal:
Aquí usted aproxima el pedazo de curva dado entre f1 y f2 con un segmento de línea recta dibujado entre los dos puntos f1 y f2 y luego calcula el área amarilla debajo de él. Esto dará una respuesta aproximada que puede ser útil si es difícil calcular el área exacta debajo de la curva original.

La regla de Simpson es similar, pero va un paso más allá y se aproxima a la curva original (azul) con una parábola (roja).
Para ajustar una parábola, utiliza 3 puntos: punto inicial (a), punto medio (m) y punto final (b). La fórmula de la regla de Simpson se trata de encontrar el área debajo de esta parábola roja. Esto le da una mejor aproximación que la regla trapezoidal.

Una propiedad interesante de la regla de Simpson es que su límite de error es proporcional a la cuarta derivada de la función original. Esto significa que si la cuarta derivada de la función original es cero, entonces la regla de Simpson le da la respuesta exacta. Ahora, ¿cuáles podrían ser algunas funciones cuya cuarta derivada es cero? Sí, si su función original es un polinomio de grado 3 o menos, entonces la regla de Simpson da la respuesta exacta.

Aquí hay algunos videos útiles si quieres saber más:

1. Este te lleva paso a paso con un ejemplo que usa la regla 1/3 de Simpson.
2. Este es una serie de videos que explican la regla de Simpson, proporciona una derivación de la misma y también resuelve algunos ejemplos usando la regla: la regla de integración 1/3 de Simpson

Espero que esto ayude.