En física, se tiende a pensar que los grupos representan las simetrías que dejan ciertas cosas sin cambios, en nuestro caso las transformaciones de coordenadas que dejan los productos de puntos (por ejemplo, orientación relativa) sin cambios. Para continuar, ampliemos la definición del producto punto entre dos vectores como
[matemáticas] \ vec {\ alpha} \ cdot \ vec {\ beta} = \ vec {\ alpha} ^ T g \ vec {\ beta} = \ sum_ {ij} {g_ {ij} \ alpha_i \ beta_j} [ /matemáticas]
donde [math] g_ {ij} [/ math] es el tensor métrico (relatividad general) que encapsula cómo se miden las distancias.
El grupo [math] O (n) [/ math] es el conjunto de todas las transformaciones que dejan invariable el producto punto entre dos vectores n-dimensionales en el espacio regular, lo que significa [math] g_ {ij} = I_ {ij} = \ delta_ {ij} [/ math] (la matriz de identidad) y dónde los productos de punto se parecen a lo familiar
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[matemáticas] \ vec {\ alpha} \ cdot \ vec {\ beta} = \ sum_i \ alpha_i \ beta_i [/ matemáticas]
Conceptualmente [matemática] O (n) [/ matemática] es el conjunto de todas las rotaciones en el espacio n-dimensional. El grupo [math] O (n, m) [/ math] es similar, pero cuando la métrica es la matriz diagonal con [math] n [/ math] número de [math] -1 [/ math] ‘sy [ math] m [/ math] número de [math] +1 [/ math] ‘s. Los productos de punto luego toman la forma
[matemáticas] \ vec {\ alpha} \ cdot \ vec {\ beta} = – \ sum_ {i = 1} ^ n \ alpha_i \ beta_i + \ sum_ {j = n + 1} ^ {n + m} \ alpha_j \ beta_j [/ math]
y son estos productos los que las representaciones de [matemáticas] O (n, m) [/ matemáticas] dejan invariables. Conceptualmente, los espacios n-dimensionales y m-dimensionales involucran rotaciones normales, pero hay transformaciones “hiperbólicas” o “de refuerzo” entre los componentes en estos espacios separados. Es lo mismo que en la relatividad especial, pero donde te imaginas en general las dimensiones de tiempo [matemáticas] n [/ matemáticas].
Otra forma de pensarlo es la siguiente. Considere un cambio de marco de referencia donde tomamos todos los vectores de [math] \ vec {\ alpha} \ rightarrow \ Lambda \ vec {\ alpha} [/ math]. Luego, los productos punto se transforman de la siguiente manera
[matemáticas] \ vec {\ alpha} \ cdot \ vec {\ beta} \ rightarrow \ vec {\ alpha} ^ T \ Lambda ^ T g \ Lambda \ vec {\ beta} [/ math]
Pero los productos de punto deben conservarse bajo transformaciones de coordenadas, por lo que, en general, las representaciones de grupo [matemáticas] \ Lambda [/ matemáticas] son tales que [matemáticas] g \ rightarrow \ Lambda ^ T g \ Lambda = g [/ matemáticas], es decir de modo que dejan el tensor métrico sin cambios bajo transformaciones.