Una función potencial es una función escalar [math] \ rho: \ mathbb {R} ^ n \ to \ mathbb {R} [/ math]. El operador de gradiente aplicado a [math] \ rho [/ math] proporciona un campo vectorial, una función [math] F: \ mathbb {R} ^ n \ to \ mathbb {R} ^ n [/ math] tal que [math ] F = \ nabla \ rho [/ math] con ciertas propiedades, más notablemente que se llama conservador , lo que significa que la ruta integral a lo largo de cualquier ciclo cerrado es cero.
Como tal, la función que ha publicado es una función escalar; multiplicado por el vector [matemáticas] (x, y) ^ T [/ matemáticas], sin embargo, tomaría la forma correcta y sería manejable.
Si tiene un campo vectorial conservador (debe verificar esto, si no se conoce o no se ha dado), en principio puede obtener el potencial al integrarse con respecto a cada variable a su vez, excepto en lugar de una constante arbitraria que tiene una arbitraria función de las otras variables. Una vez que obtenga todas las integrales (si es posible, lo que en este caso será una vez que multiplique [math] F [/ math] por un vector apropiado) use toda esta información para reunir su potencial.
Vamos a ilustrar con un caso simple con un potencial conocido [math] \ rho = xy + x [/ math]. Entonces [matemáticas] F = \ nabla \ rho = (y + 1, x) ^ T [/ matemáticas].
- ¿Cuáles son las características del grupo de [matemáticas] O (n, k) [/ matemáticas]?
- ¿Qué se entiende por polinomios son exactos hasta el grado 2 o 3 en interpolación y cuál es el orden de la regla 1/3 de Simpson y cómo verificarlo?
- Si x + a es un factor de x ^ 3 + ax ^ 2-2x + a + 4, entonces a es igual?
- Álgebra lineal, ¿qué podemos decir sobre la base B1 en comparación con la base B2?
- ¿Cuál es el foco de la parábola con la ecuación (x-1) ^ 2 + 32 = 8y?
Para recuperar [math] \ rho [/ math], integramos el componente [math] x [/ math] con respecto a [math] x [/ math] y el componente [math] y [/ math] con respeto a [matemáticas] y [/ matemáticas].
[matemáticas] \ int x \ mathrm {d} y = xy + f_2 (x) [/ matemáticas]
[matemática] \ int y + 1 \ matemática {d} x = xy + x + f_1 (y) [/ matemática]
Reconstruimos [math] \ rho [/ math] al recopilar todos los términos únicos de cada una de las integrales (y eliminarlas de las otras integrales a medida que avanzamos). De la integral con respecto a [matemáticas] y [/ matemáticas] tenemos [matemáticas] xy [/ matemáticas], y luego una función desconocida de [matemáticas] x [/ matemáticas] que aparecerá en la otra integral. De la integral con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas] ya tenemos [matemáticas] xy [/ matemáticas], pero tenemos [matemáticas] x [/ matemáticas] y una función desconocida de [matemáticas] y [/ matemáticas] . Pero ya vimos eso y recopilamos todo de él, así que no hay más que hacer. El potencial [math] \ rho [/ math] es la suma de los términos únicos que hemos recopilado.
Como habrías esperado, [math] \ rho = xy + x [/ math].
La mecánica de su problema es la misma, y recuperará un potencial con solo un término.