Cuando resolvemos la ecuación x ^ 2 + x – 6 para obtener las intersecciones x, ¿por qué hacemos esto: (x + 3) (x – 2) = 0, en lugar de hacer esto: x (x + 1) = 6?

Porque factorizarlo como

(x + 3) (x – 2) = 0 te dice las condiciones para x que hacen que la expresión sea igual a cero.

si (a) (b) = 0, a = 0, b = 0 (o ambos a y b = 0).

En el caso dado, esto le dice que las posibles condiciones para las cuales la expresión es igual a cero son:

x + 3 = 0

y

x – 2 = 0

Resolver cada una de estas condiciones para x da las intersecciones en x

x + 3 = 0 implica x = -3
x – 2 = 0 implica x = 2
Si, en cambio, considera x (x + 1) = 6, no es tan sencillo resolver para x, ya que no es tan claro de inmediato que x y x + 1 están tan limitados como en el caso de la otra factorización. Su próximo paso probablemente sería reorganizar la ecuación de nuevo a (x + 3) (x + 2) = 0. Si quisiera trabajar un poco más, podría usar la solución general a la ecuación cuadrática en el polinomio completamente expandido x ^ 2 + x – 6 = 0, pero de nuevo, eso implica más trabajo que la alternativa de (x + 3) (x – 2) = 0.

La función [math] f (x) = ax ^ 2 + bx + y [/ math] es una parábola en el plano XY. Si queremos encontrar las intersecciones x (si existen), necesitamos encontrar los valores x donde f (x) = 0 (y = 0). Por esta razón, cuando [math] y = x ^ 2 + x – 6 [/ math], hacemos [math] (x + 3) (x – 2) = 0 [/ math]. Personalmente, no veo ninguna lógica detrás de [matemáticas] x (x + 1) = 6 [/ matemáticas] porque debería ser [matemáticas] x (x + 1) = 6 + f (x) [/ matemáticas] debido a que es una función con una variable independiente (x) y una dependiente (f (x) o y).

El requisito del problema es encontrar todos los números reales que satisfagan la ecuación.
Al comparar un producto de números con cero, el producto es cero solo cuando al menos un número es cero, lo que le permite reducir / simplificar la pregunta.
Al comparar el producto con un número distinto de cero, obtiene un número indefinido de posibilidades, que también deben conectarse … y esto no solo es más complicado, sino que también carece de la prueba de que “ninguna otra solución es posible”

Si escribe [matemáticas] x (x + 1) = 6 [/ matemáticas], no le indica qué debe ser [matemáticas] x [/ matemáticas] o [matemáticas] x + 1 [/ matemáticas]. Entonces no te acercas más a la solución.

Sin embargo, si factoriza la ecuación en la forma [matemática] (x + 3) (x-2) = 0 [/ matemática], sabe que para que esto sea cierto, [matemática] x + 3 = 0 [/ matemática] o [matemática] x-2 = 0 [/ matemática], de lo contrario su producto no puede ser cero. Así que puedes leer las dos soluciones: [matemáticas] x = -3 [/ matemáticas] o [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas].

No obtienes una solución de esto.