¿Estoy haciendo esta diferenciación implícita, verdad?

Answer 1

Creo que hay dos buenos métodos para diferenciar implícitamente [matemáticas] y = 4 ^ {2x} [/ matemáticas]

Método 1

Primero, reescribe [matemáticas] y = 4 ^ {2x} = e ^ {(\ ln 4) 2x} [/ matemáticas]. Luego, diferencie ambos lados de la ecuación con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas], obteniendo:

[matemáticas] \ begin {align *} \ frac {d} {dx} (y) & = \ frac {d} {dx} (e ^ {(\ ln 4) 2x}) \\ \ implica \ frac {dy } {dx} & = e ^ {(\ ln 4) 2x} \ frac {d} {dx} ((\ ln 4) 2x) \\ \ implica \ frac {dy} {dx} & = e ^ {( \ ln 4) 2x} ((\ ln 4) 2) \\ \ implica \ frac {dy} {dx} & = 4 ^ {2x} (\ ln 16) \ end {align *} [/ math]

Método 2

Comenzamos como lo hizo tomando el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación, encontrando:

[matemáticas] \ ln (y) = \ ln (4 ^ {2x}) = 2x \ ln (4) [/ matemáticas]

Ahora diferencie ambos lados con respecto a [math] x [/ math] para obtener:

[matemáticas] \ frac {1} {y} * \ frac {dy} {dx} = 2 \ ln (4) [/ matemáticas]

Lo que significa que

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = y \ ln (16) [/ matemáticas]

Conectando de nuevo para [math] y [/ math] concluimos que

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = 4 ^ {2x} \ ln (16) [/ matemáticas]

¡Entonces ambos métodos nos dan la misma respuesta!

Answer 2

[matemáticas] y = 4 ^ {2x} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {d} {dx} ln (y) = \ frac {d} {dx} 2x * ln4 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {1} {y} \ frac {dy} {dx} = x ln4 [/ matemáticas]. – El error aquí es que la derivada de [matemáticas] 2xln4 = 2ln4 = ln16 [/ matemáticas] Porque ln 4 es una constante como es 2. La derivada de cx es c. C = 2ln4.
Ln también tiene la propiedad tal que [math] n * ln (a) = ln (a ^ {n}) [/ math]
Entonces [matemáticas] 2ln4 = ln4 ^ 2 = ln16 [/ matemáticas]

Por lo tanto
[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = 4 ^ {2x} (ln16) [/ matemáticas]

Answer 3

No.

El tercero correcto, como RHS, debe ser 2ln4 = ln 16.

La respuesta debería ser

4 ^ 2x (ln 16)

o 16 ^ x (ln 16)

Espero que ayude.