¿Cómo se construye la función f tal como f (a ^ n) + f (b ^ n) = f (a ^ n + b ^ n)?

Answer 1

Si entiendo su pregunta correctamente, está buscando una función que satisfaga [matemáticas] f (A) + f (B) = f (A + B) [/ matemáticas].

(Tomando [matemáticas] A = a ^ n [/ matemáticas] y [matemáticas] B = b ^ n [/ matemáticas], tenemos su declaración original).

Para construir una función que satisfaga [matemáticas] f (A) + f (B) = f (A + B) [/ matemáticas], intentemos una función lineal. Echemos

[matemáticas] f (x) = mx + c [/ matemáticas]

donde [math] m [/ math] y [math] c [/ math] son ​​constantes.

Ahora probemos si esta función satisface la ecuación deseada.

El lado derecho es:

[matemáticas] f (A + B) = m (A + B) + c [/ matemáticas]
[matemática] f (A + B) = mA + mB + c [/ matemática]

Y el lado izquierdo es:

[matemáticas] f (A) + f (B) = mA + c + mB + c [/ matemáticas]
[matemáticas] f (A) + f (B) = mA + mB + c + c [/ matemáticas]
[matemática] f (A) + f (B) = mA + mB + 2c [/ matemática]

¡Ajá! En el lado derecho solo tenemos una [matemática] c [/ matemática], mientras que en el lado izquierdo tenemos dos de ellas.

Entonces, para establecer el lado derecho igual al lado izquierdo, necesitamos [matemática] 2c = c [/ matemática]. La única forma de lograr esto es establecer [math] c = 0. [/ Math]

Eso nos deja con

[matemáticas] f (x) = mx. [/ matemáticas]

donde [math] m [/ math] es una constante. Esta función satisface su condición.

Answer 2

Sea x = a ^ n, y = b ^ n: –
Para encontrar f tal que f (x) + f (y) = f (x + y): –
(Poniendo x = y = 0 obtenemos f (0) = 0)
Considere f ‘(x) = lim h-> 0 ((f (x + h) -f (x)) / h)
Use la propiedad de la función f (x) + f (y) = f (x + y) para obtener f (x + h) = f (x) + f (h)
=> f ‘(x) = lim h-> 0 (f (h)) / h
Como lim h-> 0 f (h) = 0 y lim h-> 0 h = 0, use la regla de L’Hôpital para obtener: –
f ‘(x) = f’ (h), Sea f ‘(h) = C (una constante)
=> f ‘(x) = C ==> f (x) = C * x + D (donde D es una constante)
Use la condición inicial f (0) = 0 para obtener D = 0.
Por lo tanto, f (x) = C * x

Answer 3

Supongamos que n no es cero, de lo contrario no se puede decir nada interesante.

Configurando x = a ^ ny e = b ^ n, obtenemos

[matemáticas] f (x) + f (y) = f (x + y) [/ matemáticas]

Si n es par, esto se cumple para [matemáticas] x, y \ geq 0 [/ matemáticas]. Si n es impar, se cumple para todas las x, y.

Esta ecuación se conoce como la ecuación funcional de Cauchy. Si supone que la solución es continua, puede probar que [matemáticas] f (x) = cx [/ matemáticas] son ​​las únicas soluciones. Sin embargo, existen otras soluciones patológicas.

Answer 4

f (a) = k * a

Así que básicamente:
f (a ^ n) = k * a ^ n
f (b ^ n) = k * b ^ n
f (a ^ n) + f (b ^ n) = k * a ^ n + k * b ^ n = k * (a ^ n + b ^ n) = f (a ^ n + b ^ n)

Haz k = 1 y obtienes la identidad