Deje [math] a \ gt 1 [/ math] y [math] M \ geq 0 [/ math]. Suponga que [math] f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} [/ math] satisface [math] | f (x) -f (y) | \ le M | xy | ^ a [/ math] para todos [math] x, y \ in \ mathbb {R} [/ math]. ¿Cómo se demuestra que [matemáticas] f [/ matemáticas] es una función constante?

Answer 1

Considere cualquier punto [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math] y [math] \ delta> 0 [/ math]. Debido a la desigualdad mencionada, podemos observar que

[matemáticas] | f (x + \ delta) -f (x) | \ leq M | \ delta | ^ a [/ matemáticas].

De manera equivalente, tenemos,

[matemáticas] -M | \ delta | ^ {a-1} \ leq \ frac {f (x + \ delta) -f (x)} {\ delta} \ leq M | \ delta | ^ {a-1} [ /matemáticas].

En el límite, [math] \ delta \ rightarrow 0 ^ + [/ math], debido al teorema del sándwich y al hecho de que [math] a> 1 [/ math], podemos ver que el límite derecho de la fracción es de hecho 0. Usando argumentos similares, podemos probar que el límite izquierdo existe y es igual al lado derecho.

Por lo tanto, [math] f ‘(x) = 0, \ forall x \ in \ mathbb {R} [/ math]. Dado que la pendiente de la tangente a la función en cualquier punto de la curva es cero, podemos concluir que la función es de hecho una constante.

Answer 2

Aquí hay una gran pista: pruebe que f es diferenciable y que su derivada es idénticamente 0.