Encontrar soluciones precisas para ecuaciones de este tipo generalmente es impredecible. Obviamente, hay algunos casos que son más fáciles (es decir, c = 1), pero normalmente tendrán que hacerse soluciones aproximadas. Incluso las ecuaciones de diofantina (que son más simples en comparación con estas) no se comprenden especialmente bien, a pesar de que el enunciado del problema es generalmente accesible. Dicho esto, si bien las soluciones exactas son difíciles de encontrar, es muy fácil encontrar muy buenas (es decir, tan buenas como realmente podría desear en la práctica y algunas) aproximaciones de las soluciones.
Con solo un poco de cálculo / cálculo numérico, uno puede usar herramientas como el método de Newton para aproximar los ceros de la función f (x) = x ^ n – b ^ x + c. Este método funciona muy rápidamente (típicamente 7 iteraciones o menos para una “buena” aproximación), y existen métodos más avanzados (y más complicados) si se necesita precisión adicional. Cuando n es par, debería obtener como máximo 2 soluciones dependiendo de c y, a menos que me equivoque, no más de tres soluciones siempre que n sea impar (y generalmente menos que eso), por lo que no debería preocuparse por la falta de soluciones.
Con el cursor del mouse colocado sobre la raíz pude leer un valor de x ~ 1.24. (Se podría lograr una mayor precisión haciendo un zoom adicional). Aquí está el diagrama general de la ecuación. Parece obvio que es necesario examinar solo el intervalo x de aproximadamente -4 a 4 para las raíces. 
Se necesita muy poco código de Python para obtener esto.