Is [math] p (t) = a + t ^ 2 [/ math] donde [math] a \ in \ mathbb {R} [/ math] un subespacio de [math] \ mathbb {P} _ {2} [ /matemáticas]?

Answer 1

Creo que querías preguntar si [math] span \ {p (t) \} [/ math] es un subespacio de [math] \ R _ {\ leq 2} [t] [/ math]. De hecho, es un subespacio de [math] \ R _ {\ leq 2} [t] [/ math].

Tenemos que verificar dos cosas:

1. [math] span \ {p (t) \} \ neq \ emptyset [/ math]. Esto es cierto porque [math] a + t ^ 2 \ in span \ {p (t) \} [/ math]
2. [matemáticas] \ forall r (t), q (t) \ en span \ {p (t) \}: \ forall \ lambda, \ mu \ in \ R: \ lambda r (t) + \ mu q (t ) \ in span {p (t)} [/ math]. Tome 2 polinomios r [math] (t), q (t) \ in span \ {p (t) \} [/ math] y dos coeficientes [math] \ lambda, \ mu \ in \ R [/ math] en aleatorio. Debido a que [math] r (t), q (t) \ in span \ {p (t) \} [/ math], existen números [math] \ alpha, \ beta \ in \ R: \ alpha p (t ) = r (t), \ beta p (t) = q (t) [/ math]. Entonces [matemáticas] \ lambda r (t) + \ mu q (t) = \ lambda \ alpha p (t) + \ mu \ beta p (t) = (\ lambda \ alpha + \ mu \ beta) p (t) \ en span \ {p (t) \} [/ math]

Esto prueba que [math] span \ {p (t) \} [/ math] es un subespacio de [math] \ R _ {\ leq 2} [t] [/ math]. Si su pregunta era si el singleton [math] p (t) [/ math] es un subespacio, entonces la respuesta es no, porque [math] 2p (t) [/ math] no tiene la misma forma que [math] p (t) [/ matemáticas]. Si se refería a los polinomios de la forma [matemática] a + t ^ 2 [/ matemática], entonces la respuesta también es no, porque [matemática] (1 + t) + (1 + t) = 2 + 2t [/ matemática ] que no es un polinomio de la forma requerida.